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例说转化与化归思想

时间:2017-12-27 10:18:01

复数中的转化与化归
  例1 求复数[7+24i]的平方根.
  解析 设[z=a+bi(a,b∈R)]是复数[7+24i]的平方根,
  由平方根的定义得,[z2=(a+bi)2=7+24i].
  即[(a2-b2)+2abi=7+24i].
  因为[a,b∈R],利用复数相等得,[a2-b2=7,2ab=24,]
  则[a=4,b=3,]或[a=-4,b=-3.]
  故复数[7+24i]的平方根为[±(4+3i)].
  点评 将复数的开平方运算转化为平方运算、将复数(虚数)问题通过复数代数形式化归为实数问题,是处理复数问题的基本策略.
  立體几何中的转化与化归
  例2 如图,在四棱锥[P-ABCD]中,[AB∥CD,]且[∠BAP=][∠CDP][=90°].
  (1)证明:平面[PAB]⊥平面[PAD];
  (2)若[PA=PD=AB=DC],[∠APD=90°],求二面角[A-PB-C]的余弦值.
  解析 (1)证明:因为[∠BAP=∠CDP=90°],
  所以[AB⊥AP,CD⊥DP].
  又因为[AB//CD],所以[AB⊥DP].
  又[PA?PD=P],[AB?平面PAB],
  所以平面[PAB]⊥平面[PAD].
  (2)由于平面[PAB]⊥平面[PAD],取[AD]的中点[O],[PA=PD,∠APD=90°],
  所以[OP⊥平面ABCD].
  以[O]为坐标原点,[OA,OP]为[x]轴、[z]轴(建系如上图). 不妨设[PA=PD=AB=DC=2].
  [则O(0,0,0),P(0,0,2),A(2,0,0),B(2,2,0),C(-2,2,0).]
  设平面[PBA]的一个法向量为[m=(x,y,z),]
  则[m?AP=0,m?AB=0,]即[2x-2z=0,y=0.]
  取[x=1],则[m=(1,0,1).]
  设平面[PBC]的一个法向量为[n=(x,y,z).]
  则[n?PB=0,n?BC=0,]即[2x+2y-2z=0,x=0.]
  取[y=1],则[n=(0,1,2).]
  记二面角[A-PB-C]的平面角为[θ],
  则[cosθ=m?nm?n=(1,0,1)?(0,1,2)2?3=33].
  点评 将立体几何中的一种位置关系转化为另一种位置关系,或转化为空间两向量的数量关系(共线与数量积坐标表示). 将立体几何中的线面角化归为空间两向量夹角坐标表示,是立体几何最基本的解题策略.
  解析几何中的转化与化归
  例3 动圆[M]经过点[F(1,0)],且与直线[x=-1]相切.
  (1)求圆心[M]的轨迹[C]的方程;
  (2)直线[l]过定点[F]与曲线[C]交于[A,B]两点:
  ①若[AF=2FB],求直线[l]的方程;
  ②若点[K(k,0)]始终在以[AB]为直径的圆内,求[k]的取值范围.
  解析 (1)由题意得,点[M]到点[F(1,0)]的距离与点[M]到直线[x=-1]的距离相等,所以点[M]的轨迹是以[F]为焦点,直线[x=-1]为准线的抛物线,其方程为[y2=4x.]
  (2)设直线[l]:[x=my+1],代入抛物线方程得,[y2-4my-4=0.]
  再设[A(x1,y1),B(x2,y2)],则[y1+y2=4m,y1y2=-4.]
  ①[AF=(1-x1,-y1),FB=(x2-1,y2)].
  因为[AF=2FB],
  所以[-y1=2y2],
  联立[y1+y2=4m,y1y2=-4]解得,[m=±24].
  即所求直线方程为[x=±24y+1].
  ②[KA=(x1-k,y1),KB=(x2-k,y2)].
  因为点[K(k,0)]始终在以[AB]为直径的圆内,
  所以[?m∈R],[KA?KB<0].
  即[?m∈R],[(x1-k)(x2-k)+y1y2<0]恒成立.
  亦即[?m∈R],[(my1+1-k)(my2+1-k)+y1y2<0]恒成立.
  也就是[?m∈R],[4km2+4-(1-k)2>0]恒成立.
  当[k=0]时,显然满足.
  当[k≠0]时,则[k>0],且[4-(1-k)2>0],解得,[0  综上所述,[k]的取值范围为[[0,3)].
  点评 解析几何是用代数方法研究几何问题,“将形化数、以数解形”是解析几何特点. 一般地,点[P]在以[AB]为直径的圆上(内、外)[?][PA?PB=0]([<0,或>0]).
  函数与导数中的转化与化归
  例4 已知函数[f(x)=x22e,g(x)=lnx],
  (1)求证:[?x>0],[f(x)≥g(x)]恒成立;
  (2)是否存在常数[a,b],使得[?x>0],都有[f(x)≥2ax+b≥g(x)]恒成立?若存在,求出[a,b]的值;若不存在,请说明理由.
  解析 (1)设[h(x)=f(x)-g(x)=x22e-lnx],
  则[h(x)=x2-eex].
  令[h(x)=0]得,[x=e].
  所以函数[h(x)]的最小值为[h(e)=0,]
  所以[h(x)=f(x)-g(x)=x22e-lnx≥0],即[f(x)≥g(x)].
  (2)假设存在常数[a,b],使得对任意[x>0]都有[f(x)≥2ax+b≥g(x)]恒成立.
  即[x22e≥2ax+b≥lnx]对任意的[x>0]恒成立.
  而当[x=e]时,[12≥2ae+b≥12],
  所以[2ae+b=12],则[b=12-2ae].
  所以[h(x)=x22e-(2ax+b)=x22e-2ax-12+2ae≥0]恒成立.
  ①当[a<0]时,[h0=-12+2ae<0],所以不成立.
  ②当[a>0]时,[Δ=(2a-1e)2≥0],
  所以[a=12e],则[b=-12].
  同理,令[φ(x)=lnx-1ex+12],则[φ(x)=e-xex].
  令[φ(x)=0]得,[x=e].
  当[x∈(0,e)]时,[φ(x)>0],[φ(x)]在[(0,e)]上单调递增.
  当[x∈(e,+∞)]时,[φ(x)<0],[φx]在[(e,+∞)]上单调递减.
  所以[φ(x)]的最大值[φ(e)=0].
  所以[lnx-1ex+12≤0]恒成立.
  所以存在[a=12e],[b=-12]符合题意.
  点评 一般地,不等式恒成立、能成立问题,都可以转化为函数的最值问题. 如:[?x∈D]有[f(x)>A]恒成立[?][x∈D]时[f(x)min>A];[?x∈D]有[f(x)A]成立[?][x∈D]时[f(x)max>A;][?x0∈D]有[f(x0)

作者:不详 来源:网友发布
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