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含双平方根式无理函数的最值(值域)问题

时间:2017-6-9 11:11:26

形如y=af(x)+bg(x)+c的函数叫作含双平方根式的无理函数,这类无理函数的最值(值域)问题是高三理科数学复习中的一个难点内容,也是近几年高考命题的热点内容.由于这类问题的求解涉及函数、几何、三角、向量以及不等式等数学知识,具有较强的综合性,若学生没有掌握比较系统的数学知识,解决这类问题是有一定困难的.为此,笔者对这类问题的求解方法进行了总结与归纳,现将几种常规方法一一介绍.
  一、单调性法
  例1 求函数y=3x2-1-4-3x2的值域.
  解 易求函数的定义域为[-233,-1]∪[1,233]且为偶函数,所以
  当x∈[1,233]时,函数y=3x2-1-4-3x2单调递增.则当x=1时,ymin=-1;
  当x=233时,ymax=3.故该函数的值域为y∈[-1,3].
  二、求导法
  例2 求函数y=5x-1+10-x-226的值域.
  解 易知函数的定义域为[1,10],当x=1时,y=3-226;当x=10时,y=15-226.当x∈(1,10)时,y′=12(5x-1-110-x),且导函数y′在(1,10)上單调递减.令y′=0,得x=25126.所以当x∈(1,25126)时,y′>0;当x∈(25126,10)时,y′<0.所以原函数y在(1,25126)上单调递增,在(25126,10)上单调递减.则当x=25126时,ymax=26;当x=1时,ymin=3-226.故该函数的值域为
  y∈[3-226,26].
  三、整体代换法
  例3 求函数y=2x2+8x2+1+412-x2-4x2的值域.
  解 令t=x2+4x2(4≤t≤12),则y=2t+1+412-t.当t∈[4,12)时,y′=12t+1-212-t在[4,12)上单调递减.∵当t=4时,y′=13-22<0,∴当t∈[4,12)时,y′<0,函数y=2t+1+412-t在[4,12]单调递减.∴当t=4时,ymax=3+82;当t=12时,ymin=5.故该函数的值域为y∈[5,3+82].
  四、基本不等式法
  例4 求函数y=x2-2x+2+x2+2x+2的值域.
  解 易知x∈R,y=x2-2x+2+x2+2x+2≥24(x2-2x+2)(x2+2x+2).
  =24(x2+2)2-4x2=24x4+4≥244=22.
  当且仅当x=0时取等号,所以该函数的值域为y∈[22,+∞).
  五、数形结合法
  例5 求函数y=x2-2x+2+x2+2x+2的值域.
  解 函数y=(x-1)2+1+(x+1)2+1的几何意义是表示动点P(x,1)到定点A(-1,0),B(1,0)的距离之和.易求点B(1,0)关于直线y=1对称点B′(1,2).
  当A,P和B′三点共线时,P点到A和B的距离之和最小,距离最小为|AB′|=22.
  故y≥22,即所求函数的值域为y∈[22,+∞).
  例6 设a,b>0,a+b=5,则a+1+b+3的最大值为.
  解 由a+b=5,可得(a+1)+(b+3)=9,即(a+1)2+(b+3)2=9.
  令x=a+1,y=b+3,则问题就转化成约束件为x>1y>3x2+y2=9,目标函数为z=x+y.
  如图所示:可行域为AB弧(不含A,B两点),沿直线l0∶x+y=0往上平移,直到与AB弧相切时的P点就为最优解,容易求得P(322,322),此时以P点为切点的切线方程为l∶x+y=32,∴Zmax=322+322=32,故(a+1+b+3)max=32.
  总之,当解完了一道题后,要及时归纳与总结方法,力求做到一题多解、多题一解,达到应用自如、熟能生巧、举一反三的地步,为以后解题打好坚实的基础.

作者:不详 来源:网友发布
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