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从一道课本习题谈图形内角的求法

时间:2017-3-27 13:19:44

平时的学习过程中,我们要重视课本习题的解答,从解答过程中归纳解题的方法,达到举一反三、融会贯通的效果.现以义务教育教科书《数学》苏科版七年级下册第34页第5题为例加以说明,供同学们学习参考.
  问题 如图,从△ABC的纸片中剪去△CDE,得到四边形ABDE.若∠C=50°,求∠1+∠2的和.
  
  【分析】本题要求∠1+∠2的和,观察图形不难发现:∠1、∠2的补角分别为∠CED、∠CDE,应用△CDE的内角和可以先求得∠CED与∠CDE的和.还可以把∠1、∠2看成是四边形ABDE的内角,即可得∠1、∠2、∠A、∠B的和为360°,只需要求得∠A、∠B即可解决问题,因此,仍然应用△ABC的内角和求得∠A、∠B的和.
  解:方法一 在△CDE中,
  由∠C+∠CDE+∠CED=180°,∠C=50°,得:
  ∠CDE+∠CED=130°.
  由∠1的补角为∠CED、∠2的补角为∠CDE,可得:
  ∠1+∠2+∠CED+∠CDE=360°,
  所以∠1+∠2=230°.
  方法二 在△ABC中,
  由∠C+∠A+∠B=180°,∠C=50°,
  可得∠A+∠B =130°.
  在四边形ABDE中,
  由∠1+∠2+∠A+∠B=360°,得
  ∠1+∠2=230°.
  【解法反思】本题方法一,借助于要求的一个角的补角将问题转化为图形中某个三角形的内角,再应用三角形的内角和加以解答;方法二,直接把所求的角看成是三角形或多边形的内角,应用多边形的内角和求得结果.这两种方法,都能够根据问题的条件,没有把“∠1+∠2”分别看成是两个角求解,而是把“∠1+∠2”看成是一个整体,体现了整体数学思想,使得解法简捷.应用这两种方法可以帮助我们解答这类问题.
  应用1 如图,在五边形ABCDE中,∠C=100°,∠D=75°,∠E=135°,AP平分∠EAB,BP平分∠ABC,求∠P的度数.
  
  【分析】根据五边形的内角和等于540°,由∠C+∠D+∠E=310°,可求∠EAB+∠ABC的度数,再根据角平分线的定义可得∠PAB与∠PBA的和,进一步求得∠P的度数.
  解:在五边形ABCDE中,
  ∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E=540°.
  由∠C=100°,∠D=75°,∠E=135°,得:
  ∠EAB+∠ABC=230°.
  由AP平分∠EAB,得:∠PAB=[12]∠EAB,
  同理可得:∠ABP=[12]∠ABC,
  所以∠PAB+∠ABP=[12](∠EAB+∠ABC)
  =115°.
  在△ABP中,∠P+∠PAB+∠PBA=180°,
  则∠P=65°.
  【点评】本题灵活应用多边形的内角和公式、角平分线的定义和整体思想,先求得两个内角的和,再确定第三个角的度数.
  应用2 如图,线段AD、CF、BE两两相交于点G、H、I.求:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.
  
  【分析】把∠A与∠B、∠C与∠D、∠E与∠F分别看成是△ABH、△CDI、△EFG的内角,再应用△GHI的内角和求得∠G+∠H+∠I的值.
  解:在△ABH中,
  由∠A+∠B+∠AHB=180°得:
  ∠A+∠B=180°-∠AHB;
  在△CDI中,
  由∠C+∠D+∠CID=180°得:
  ∠C+∠D=180°-∠CID;
  在△EFG中,
  由∠E+∠F+∠EGF=180°得:
  ∠E+∠F=180°-∠EGF.
  在△GHI中,
  由∠EGF+∠CID+∠AHB=180°得:
  ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F
  =(180°-∠AHB)+(180°-∠CID)+( 180°-∠EGF)
  =540°-(∠AHB+∠CID+∠EGF)=360°.
  【點评】本题也可以把∠A与∠B、∠E与∠F分别看成是△ABH、△EFG的内角,把∠C与∠D看成是四边形CDGH的内角,并根据四边形内角和为360°、三角形内角和为180°,应用整体和转化思想求得结果,请同学们自己完成解题过程哦!

作者:不详 来源:网友发布
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