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中考必考知识点数与式

时间:2017-3-26 8:38:28

数与式是中考必考知识点,一般分值占中考总分10%左右,主要考查同学们对基本概念的理解和基本运算的掌握情况,现以2016年中考题为例,聚焦中考中的“数与式”,供同学们复习时参考.
  一、考查数与式的相关概念
  1.正、负数的识别.
  例1 (2016·攀枝花)下列各数中,不是负数的是( ).
  A.-2 B.3 C.[-58] D.-0.10
  【分析】利用负数的定义判断即可得到结果.
  解:由负数的定义知,-2,[-58],-0.10均为负数,而3不是负数.故选B.
  【点评】负数可以从以下两个方面识别:①根据数前面的符号:非零数前面只有一个“-”号是负数,非零数前面只有一个“+”号是正数;②根据与零的大小关系:大于零的数是正数,小于零的数是负数.
  2.相反数、倒数.
  例2 (2016·永州)[-12016]的相反数的倒数是( ).
  A.1 B.-1 C.2016 D.-2016
  【分析】本题应先求相反数,再求倒数.
  解:[-12016]的相反数是[12016],[12016]的倒数是2016.故选C.
  【点评】求一个数的相反数,相当于改变这个数的符号,即在这个数前面加上“-”号;求一个数的倒数,即求1除以这个数的商.
  3.数的开方.
  例3 (2016·常德)4的平方根是( ).
  A.2 B.-2 C.[±2] D.±2
  【分析】一个正数有两个平方根,它们互为相反数.
  解:∵(±2)2=4,∴4的平方根是±2.故选D.
  【点评】本题考查了求一个正数的平方根,这类题一般比较简单,记住它们的概念是解题的前提.这类题有如下规律:非负数a的平方根是[±a],算术平方根是[a],立方根是[a3].
  4.无理数的概念.
  例4 (2016·宜黄)下列各数:1.414,[2],[-13],0,其中是无理数的为( ).
  A.1.414 B.[2] C.[-13] D.0
  【分析】无理数是无限不循环小数,符合这个要求的就是无理数,当然需要化简或计算的要看化简以后的结果.
  解:因为1.414和[-13]都是分数,0是有理数,故只有[2]是无理数.故选择B.
  【点评】常见的无理数有以下几种形式:①开方开不尽的数,如[2],[3],[-3],[33];②特定意义的数,如圆周率π,tan30°;③特定结构的数,如0.1010010001….特别注意像[22],[π3]等含开方开不尽的数或含π的数不是分数而是无理数.
  5.科学记数法.
  例5 (2016·达州)在“十二五”期间,达州市经济保持稳步增长,地区生产总值约由819亿元增加到1351亿元,年均增长约10%,将1351亿元用科学记数法表示应为( ).
  A.1.351×1011 B.13.51×1012
  C.1.351×1013 D.0.1351×1012
  【分析】科学记数法的表示形式为a×10n,其中1≤[a]<10,n为整数.先数出这个数共有多少数位,再根据科学记数法的定义确定答案.
  解:把1351亿写成135100000000,它的整数位有12位,此时a=1.351,n=12-1=11.故选A.
  【点评】科学记数法的表示方法:a值的确定:1≤a<10;n值的确定:①当原数大于或等于10时,n等于原数的整数位数减1;②当原数小于1时,n是负整数,它的绝对值等于原数左起第一位非零数字前所有零的個数(含小数点前的零);③有数字单位的科学记数法,先把数字单位转化为数字表示,再用科学记数法表示.
  6.实数与数轴.
  例6 (2016·北京)有理数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示,则正确的结论是( ).
  
  A.a>-2 B.a<-3
  C.a>-b D.a<-b
  【分析】观察数轴得到a,b的正负性及离原点的距离,从而解决问题.
  解:由数轴可知,-3  误;又知1  -2<-b<-1,即-b在-2与-1之间,所以a<
  -b.故选D.
  【点评】观察数轴上的数应从两方面入手:①数的正负性,数在原点左侧则负,数在原点右侧则正;②数离原点的距离大小.另外利用数轴还可以比较有理数的大小:数轴上右边的数总大于左边的数.由于引进了数轴,我们把数和点对应起来,也就是把“数”与“形”结合起来,体现了数形结合思想.
  7.整式的有关概念.
  例7 (2016·铜仁)单项式[πr22]的系数是( ).
  A.[12] B.π C.2 D.[π2]
  【分析】直接利用“单项式中的数字因数叫做单项式的系数”解题.
  解:单项式[πr22]的系数是:[π2].故选D.
  【点评】单项式的系数包括它前面的符号,且只与数字因数有关.另外单项式的系数是带分数时,通常写成假分数.
  8.同类项.
  例8 (2016·常德)若-x3ya与xby是同类项,则a+b的值为( ).
  A.2 B.3 C.4 D.5
  【分析】根据同类项的定义,即相同字母的指数相同,可分别求出a、b的值.
  解:由同类项的定义,得a=1,b=3,a+b=4.故选C.

【点评】所含字母相同,并且相同字母的指数也相等的项叫做同类项,据此列出方程(组)即可解决这类问题.
  9.分式的有关概念.
  例9 (2016·北京)如果分式[2x-1]有意义,那么x的取值范围是 .
  【分析】分式有意义,必须使分母不为零,由此可得x的取值范围.
  解:由分式的意义,知x-1≠0,解得x≠1.故答案为x≠1.
  【点评】分式是否有意义,只取决于分式的分母,与分式的分子无关.
  例10 (2016·湘潭)若分式[x-1x+1]的值为0,则x=( ).
  A.-1 B.1 C.±1 D.0
  【分析】根据分式的值为0的条件“分子为0,分母不等于0”,列出方程和不等式求解.
  解:由题意可知:x-1=0,得x=1.由x+1≠0,得x≠-1,所以x=1.故选B.
  【点评】此类问题容易出错的地方是忽视分式的值为0的前提条件:分式有意义,即分母不等于0.
  10.二次根式的有关概念.
  例11 (2016·白银)下列根式中是最简二次根式的是( ).
  A.[23] B.[3] C.[9] D.[12]
  【分析】最简二次根式满足下面的条件:①被开方数不含分母;②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.根据这两个条件进行辨别.
  解:A选项:[23]不是最简二次根式,因为根号中含有分母;B选项:[3]是最简二次根式;C选项:[9]不是最简二次根式,因为根号中含有开得尽的因数;D选项:[12]不是最简二次根式,因为根号中含有开得尽的因数.故选B.
  【点评】判断最简二次根式时,特别要注意分母中不能含有根号哦!
  11.二次根式有意义的条件.
  例12 (2016·西宁)若式子[x+1]有意义,则x的取值范围是 .
  【分析】二次根式有意义,必须满足被开方数是非负数,然后解不等式即可.
  解:∵二次根式[x+1]有意义,∴x+1≥0,∴x≥-1.故答案为x≥-1.
  【点评】解决这类问题的关键是由被开方数是非负数得出不等式,解这个不等式即可.对于分式形式的代数式,同学们还要注意所取的字母的值不能使分母为零.
  二、考查数与式的运算能力
  1.幂的运算.
  例13 (2016·茂名)下列各式计算正确的是( ).
  A.a2·a3=a6 B.(a2)3=a5
  C.a2+3a2=4a4 D.a4÷a2=a2
  【分析】分别从“同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、合并同类项的法则、同底数幂的除法法则”逐个验证各选项的正确性.
  解:a2·a3=a2+3=a5;(a2)3=a2×3=a6;a2+3a2=(1+3)a2=4a2;a4÷a2=a4-2=a2.故选择D.
  【点评】幂的运算是整式运算的基础,需要熟练掌握,注意不要混淆相关知识,尤其是幂的乘方不要与同底数幂的乘法混淆,幂的乘方运算是转化为指数的乘法运算,而同底数幂的乘法运算是转化为指数的加法运算.
  2.无理数的估算.
  例14 (2016·毕节)估计[6+1]的值在( ).
  A.2到3之间 B.3到4之间
  C.4到5之间 D.5到6之间
  【分析】先找到紧挨6的两个完全平方数,再判断[6]夹在哪两个正整数之间,从而判断[6+1]夹在哪两个正整数之间.
  解:∵4<6<9,∴2<[6]<3,∴3<[6]+1<4.故选B.
  【点评】本题主要考查对[a]的估算能力,解决此类问题的关键是确定与a相邻的两个平方数,即比a大和比a小,且同时最接近a的平方数,然后分别求出这些平方数的算术平方根,便可知[a]在哪两个整数之间,从而得到[a±b](b为整数)的范围.
  3.因式分解.
  例15 因式分解:(1)(2016·襄阳)2a2-2= ;
  (2)(2016·深圳)a2b+2ab2+b3= .
  【分析】(1)先提取公因式2,再利用平方差公式分解因式;(2)先提取公因式b,剩下(a2+2ab+b2)正好满足完全平方公式.
  解:(1)2(a+1)(a-1);(2)b(a+b)2.
  【点评】因式分解问题应首先考虑是否能提公因式,找公因式应从系数、字母和字母的指数三个方面分别考虑.没有公因式或提公因式后,再根据项数考虑公式法,两项则判定是否可用平方差公式,三项则判定是否可用完全平方公式,三项以上则应考虑使用分组分解法.
  4.非负数性质的应用.
  例16 (2016·自贡)若[a-1]+b2-4b+4=0,则ab的值等于( ).
  A.-2 B.0 C.1 D.2
  【分析】[a-1]+b2-4b+4=0可变形为[a-1]+(b-2)2=0,根据非负数的和为零可得a、b的值,再根據有理数的乘法得到答案.
  解:由[a-1]+b2-4b+4=0可得:[a-1]+(b-2)2=0,∴a-1=0,b-2=0,解得a=1,b=2,∴ab=2.故选D.
  【点评】初中阶段学习了三种非负数:①[a]≥0;②a2≥0;③[a]≥0.如果出现几个非负数的和为零,则说明这几个非负数的值都等于0,此时可得一个方程组,解方程组即可求得未知数的值.
  5.实数的运算.
  例17 (2016·海南)计算:6÷(-3)+[4]-8×2-2.
  【分析】先计算有理数除法、算术平方根、负整数指数幂及有理数乘法,最后再加减.
  解:原式=-2+2-8×[14]=-2+2-2=-2.
  【点评】实数的计算题常常将零指数幂、负整数指数幂、倒数、绝对值、算术平方根、特殊角的三角函数值、幂的运算性质等集于一题,综合考查运算能力,解题时需记住以下规律:①对于一个非零数a,有a0=1,需要注意a必须是一个非零数,否则没有意义;②对于一个数的负整数指数幂的求法公式:a-n=[1an],应注意a≠0,n为正整数.
  6.整式的运算.
  例18 (2016·乌鲁木齐)先化简,再求值:(x+2)(x-2)+(2x-1)2-4x(x-1),其中x=[23].
  【分析】先利用乘法公式和单项式与多项式乘法法则进行化简,再合并同类项,最后代入数值进行计算.
  解:原式=x2-4+(4x2-4x+1)-(4x2-4x)=x2-4+4x2-4x+1-4x2+4x=x2-3.当x=[23]时,原式=([23])2-3=12-3=9.
  【点评】整式的化简求值问题是中考的必考内容,主要涉及整式的乘除、乘法公式和整式的加减,同学们只要能熟练掌握有关法则及公式就可以解决此类问题.
  7.分式与二次根式的运算.
  例19 (2016·恩施)先化简,再求值:[a-32a-4]÷[a+2-5a-2],其中a=[5-3].
  【分析】先确定分式的运算顺序:先算小括号内的,再进行除法运算,最后代入求值.
  解:原式=[a-32a-2]÷[a2-4a-2-5a-2]=[a-32a-2]÷[a2-9a-2]=[a-32a-2]·[a-2a+3a-3]=[12a+3].当a=[5-3]时,原式=[125]=[510].
  【点评】分式的混合运算,要注意运算顺序,式与数有相同的混合运算顺序:先乘方,再乘除,然后加减,有括号的先算括号里面的.另外分式的混合运算,一般按常规运算顺序,但有时应先根据题目的特点,运用乘法的运算律进行灵活运算.

作者:不详 来源:网友发布
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