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初中函数复习难点

时间:2017-1-25 9:12:32

函数是初中数学的核心知识,是中考命题的热点素材,因此要视为重中之重的复习内容. 
  一、突破难点 
  1.学会捕捉函数图像的信息.①横轴和纵轴表示的意义,单位长度是多少;②函数的增减性:沿横轴从左向右,开口向上时函数y随自变量x的增大(减小)而增大(减小),开口向下时函数y随自变量x的增大(减小)而减小(增大),图像与x轴平行时函数y的值不变;③函数的最值:图像位于某条与x轴平行的直线上(下)方时函数有最小(大)值,图像位于与x轴平行的两条直线之间时,函数既有最小值也有最大值. 
  2.理解函数与方程(组)、不等式(组)的联系.①方程的解:从函数的角度看是函数值为0时自变量的值,从图像的角度看是直线与横轴交点的横坐标;②方程组的解:从函数的角度看是两个函数解析式组成的方程组的解,从图像的角度看是两条直线交点的坐标;③不等式的解:当y>(<)0时,从函数的角度看是函数值大(小)于0时自变量允许值的集合,从图像的角度看是横轴上(下)方直线部分横坐标自变量的取值范围;④不等式组的解:当y1>(<)y2时,从函数的角度看是函数值y1>(<)y2时自变量允许值的集合,从图像的角度看是一条直线y1在另一条直线y2上(下)方的部分对应的横坐标的取值范围. 
  3.确定二次函数解析式.①已知抛物线上三点坐标时,可设一般式y=ax2+bx+c;②已知抛物线的顶点坐标或最值、对称轴时,可设顶点式y=a(x-h)2+k;③已知抛物线与横轴两交点的坐标时,可设交点式y=a(x-x1)(x-x2). 
  二、关注解题中的易错点 
  1.求函数自变量的取值范围时,考虑不周全,顾此失彼. 
  2.忽视函数定义中的条件.如一次函数y=kx+b中的k≠0,x的次数为1;反比例函数y=[kx]中的k≠0,x的次数为-1;二次函数y=ax2+bx+c中的a不能为0,x的最高次数为2. 
  3.混淆点的坐标与线段长的关系.点到纵(横)轴的距离是对应点的横(纵)坐标的绝对值;反过来,点到纵(横)轴的距离表示点的坐标,要加上点所在象限的坐标符号,常常由于忽视分类讨论而造成漏解. 
  4.误求二次函数的最值.只有当顶点的横坐标在自变量的取值范围内时,顶点的纵坐标才是函数的最值,否则函数的最值在图像的端点处取得,或者没有最值. 
  三、典型问题解析 
  例1 (2016·山东威海)函数y=[x+2x]的自变量x的取值范围是( ). 
  A.x≥-2 B.x≥-2且x≠0 
  C.x≠0 D.x>0且x≠-2 
  【解析】由题意,得x+2≥0,且分母不为0,∴x≥-2且x≠0,故选择B. 
  【点评】自变量的取值范围既与函数的解析式有关,又与问题中的实际意义有关.一般来说,求函数自变量的取值范围要注意以下几点:(1)整式的取值范围是全体实数;(2)分式的分母不能为0;(3)偶次根式的被开方数不能是负数;(4)0指数或负指数幂的底数不能为0;(5)自变量的取值不能使实际问题失去意义.此外,要注意“或”与“且”的区别. 
  例2 (2016·四川宜宾)图1是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图像,下列结论错误的是( ). 
  A.乙前4秒行驶的路程为48米 
  B.在0到8秒内甲的速度增加4米/秒 
  C.两车到第三秒时行驶的路程相等 
  D.在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度 
  【解析】由图知乙的整个行驶速度变化分两段,第一段(前4秒)图像与x轴平行,即时间改变,速度不变,都是12米/秒,所以前4秒行驶了48米;第二段(4-8秒),乙的图像都在甲的图像下面,说明4到8秒内甲的速度都大于乙的速度;再看图中甲的图像是一条过原点的直线段,说明速度随时间均匀变化,8秒内速度由0变到32,所以速度增加4米/秒.说明A、B、D都正确,故错误的是C,选C. 
  【点评】对于函数图像信息题,要充分挖掘图像所蕴含的信息,通过读图、想图、析图来寻找解题的突破口. 
  例3 (2016·河北)若k≠0,b<0,则y=kx+b的图像可能是( ). 


  【解析】对于y=kx+b,当x=0时,y=b,即y=kx+b的图像与y轴的交点为(0,b),当b<0时,(0,b)在x轴下方,又因为k≠0,故选B. 
  【点评】对于含字母的函数图像识别问题,可运用推理的方法,也可借助特殊值来确定. 
  例4 (2016·重庆B卷)如图2,在平面直角坐标系中,一次函数的图像与反比例函数的图像交于第二、四象限内的A,B两点,与x轴交于点C,与y轴交于点D,点B的坐标是(m,-4),连接AO,AO=5,sin∠AOC=[35]. 
  (1)求反比例函数的解析式; 
  (2)连接OB,求△AOB的面积. 
  【分析】(1)过点A作AE⊥x轴于点E,通过解直角三角形求出线段AE、OE的长度,得到点A的坐标,利用待定系数法可求出反比例函数解析式;(2)先求出点B的坐标,由点A、B的坐标可求出直线AB的解析式,令y=0即可求出点C的坐标,再利用三角形面积公式可求面积. 
  解:(1)过点A作AE⊥x轴于点E.设反比例函数解析式为y=[kx].∵AE⊥x轴,∴∠AEO=90°.在Rt△AEO中,AO=5,sin∠AOC=[35],∴AE=AO 
  ·sin∠AOC=3,OE=[AO2-AE2]=4,∴A(-4,3).∵A(-4,3)在反比例函数y=[kx]的图像上,∴k 
  =-12.∴反比例函数解析式为y=[-12x].(2)∵点B(m,-4)在反比例函数y=[-12x]的图像上,∴m=3,∴B(3,-4).设直线AB的解析式为y=ax+b,将A(-4,3)、B(3,-4)代入y=ax+b中得:[3=-4a+b,-4=3a+b,]解得[a=-1,b=-1,]∴一次函数解析式为y=-x-1.令y=-x-1中y=0,则x= 
  -1,即C(-1,0),∴S△AOB=[12]OC·(yA-yB)=[12]×1×[3-(-4)]=[72]. 
  【点评】像本例这类问题主要是求反比例函数、一次函数的解析式以及某三个点组成的三角形的面积.求三角形的面积时,通用方法如下:如图3,过点A作x轴的垂线l交BC于点D,则S△ABC=S△ABD+S△ACD=[12]·(yA-yD)·(xC-xB). 
  例5 (2016·甘肃兰州)二次函数y=ax2+bx+c的图像如图4所示,对称轴是直线x=-1.有以下结论:①abc>0,②4ac2.其中正确的结论的个数是( ). 
  A.1 B.2 C.3 D.4 
  【解析】①由抛物线的开口向下可知a<0;由抛物线的对称轴在y轴左侧可知a、b同号,则b<0,且[-b2a]=-1;由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知c>0.∵a<0,b<0,c>0,∴abc>0正确. 
  ②∵抛物线与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,∴4ac  ③∵抛物线对称轴是直线x=-1,∴[-b2a]=-1,∴2a-b=0,∴2a+b=0错误. 
  ④由图像可知,当x=-1时,y>2,∴a-b+c>2正确,故选C. 
  【点评】解答有关二次函数图像问题,要抓住抛物线与x、y轴的交点,对称轴,顶点坐标,特殊点,常从二次函数图像性质出发,找出a、b、c的关系,再结合对称轴,确定a、b之间的关系,判断与x轴交点情况可利用判别式b2-4ac. 
  例6 (2016·湖北咸宁)某网店销售某款童装,每件售价60元,每星期可卖300件.为了促销,该店决定降价销售,市场调查反映:每降价1元,每星期可多卖30件.已知该款童装每件成本价40元.设该款童装每件售价x元,每星期的销售量为y件. 
  (1)求y与x之间的函数关系式; 
  (2)当每件售价定为多少元时,每星期的销售利润最大,最大利润是多少? 
  (3)若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润,每星期至少要销售该款童装多少件? 
  【分析】(1)由“每星期的销售量=原来的销售量+降价而多销售的销售量”可得函数关系式;(2)根据“销售量×(售价-进价)=利润”,构建二次函数求最大值;(3)列一元二次方程求出售价,再根据抛物线确定出每星期销售利润不低于6480元时x的取值范围,最后由一次函数的性质确定出每星期至少要销售该款童装的件数. 
  解:(1)y=300+30(60-x)=-30x+2100; 
  (2)设每星期的销售利润为W元,依题意,得W=(x-40)(-30x+2100)=-30(x-55)2+6750.∵a=-30<0,∴x=55时,W最大值=6750(元),即每件售价定为55元时,每星期的销售利润最大,最大利润是6750元; 
  (3)由题得-30(x-55)2+6750=6480,解得x1=52,x2=58.∵W=-30(x-55)2+6750的开口向下,∴当52≤x≤58时,每星期销售利润不低于6480元.在y=-30x+2100中,k=-30<0,y随x的增大而减小,∴当x=58时,y最小值为360.即每星期至少要销售该款童装360件. 
  【点评】利润=(售价-进价)×销售量.当销售量是售价的一次函数时,则利润是售价的二次函数.本题综合考查了一次函数、二次函数的应用.建立函数并运用一次函数和二次函数的性质解题是关键. 

作者:不详 来源:网友发布
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