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巧用圆锥曲线的定义求最值

时间:2017-1-3 17:26:05

基本题型 已知[A(4,0),B(2,2)]是椭圆[x225+y29=1]内的两个点,[M]是椭圆上的动点,求[MA+MB]的最大值和最小值.
  分析 很容易联想到三角形边的关系,但无论[A,M,B]三点是否共线,总有[MA+MB>AB],故取不到等号. 而利用椭圆定义合理转化起到了“柳暗花明又一村”的作用.
  解 由已知得,[A(4,0)]是椭圆的右焦点,设左焦点为[F(-4,0)],根据椭圆定义可得,
  [MA+MB=2a-MF+MB=10-MF+MB.]
  因为[MB-MF≤FB=210],
  所以[MB-MF∈[-210,210]].
  故[MA+MB]的最小值和最大值分别为[10-210]和[10+210].
  点评 涉及椭圆焦点的题目,运用椭圆的定义进行转化,使得复杂问题简单化.
  单变量最值问题
  建立目标函数求解圆锥曲线的范围、最值问题,是常规方法,关键是选择恰当的变量为自变量.
  例1 已知椭圆[C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)]的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,直线[x+y+1=0]与以椭圆[C]的右焦点为圆心,椭圆的长半轴长为半径的圆相切.
  (1)求椭圆的方程;
  (2)设[P]为椭圆上一点,若过点[M(2,0)]的直线[l]与椭圆[E]相交于不同的两点[S]和[T],且满足[OS+OT=tOP] ([O]为坐标原点),求实数[t]的取值范围.
  解析 (1)以椭圆[C]的右焦点为圆心,椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为:[(x-c)2+y2=a2].
  故圆心到直线[x+y+1=0]的距离[d=|c+1|2=a.](*)
  因为椭圆[C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)]的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,
  所以[a=2c],代入(*)式得,
  所以[b=1],[a=2].
  故所求椭圆方程为[x22+y2=1].
  (2)由题意知,直线[l]的斜率存在,设直线[l]方程为[y=k(x-2)],[P(x0,y0)].
  将直线方程代入椭圆方程得,
  [(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0.]
  ∴[Δ=64k4-4(1+2k2)(8k2-2)=-16k2+8>0.]
  ∴[k2<12.]
  设[S(x1,y1),T(x2,y2)],
  则[x1+x2=8k21+2k2,x1x2=8k2-21+2k2.]
  当[k=0]时,直线[l]的方程为[y=0],此时[t=0],[OS+OT=tOP]成立,故[t=0]符合题意.
  当[t≠0]时,[tx0=x1+x2=8k21+2k2,ty0=y1+y2=-4k1+2k2.]
  ∴[x0=1t?8k21+2k2,y0=1t?-4k1+2k2.]
  将上式代入椭圆方程得,
  [32k4t21+2k22+16k2t21+2k22=1].
  整理得,[t2=16k21+2k2.]
  由[k2<12]知,[0  所以[t∈-2,2].
  点评 确定椭圆方程需要两个独立条件,需从题中挖掘关于[a,b,c]的等量关系. 对于直线和椭圆的位置关系问题,往往要利用韦达定理设而不求,利用点[P]在椭圆上和向量式得[t=f(k)],进而求函数的值域.
  二元变量最值问题
  利用点在二次曲线上,将二元函数的最值问题转化为一元函数的最值问题来处理.
  例2 已知椭圆[x2a2+y2b2=1(a>b>0)]的左、右焦点为[F1,F2],其离心率[e=12],点[P]为椭圆上的一个动点,[△PF1F2]的内切圆面积的最大值为[4π3].
  (1)求[a,b]的值;
  (2)若[A,B,C,D]是椭圆上不重合的四个点,且满足[F1A//F1C, F1B//F1D, AC?BD=0],求[AC+BD]的取值范围.
  解析 (1)当[P]为椭圆的下顶点时,[△PF1F2]的内切圆面积取得最大值,设[△PF1F2]的内切圆半径为[r].
  [∵4π3=πr2,∴r=233].
  [∴S△PF1F2=12F1F2?b=bc=12(F1F2+PF1+PF2)r]
  [=12(2c+2a)×233].
  即[bc=233(a+c)].
  又[ca=12,a2=b2+c2],
  联立解得,[a=4,b=2,c=23].
  (2)∵[F1A//F1C,F1B//F1D,AC?BD=0],
  ∴直线[AC,BD]垂直相交于点[F1].
  由(1)知,椭圆方程[x216+y212=1],[F1(-2,0)].
  ①当直线[AC,BD]中有一条直线的斜率不存在时,[AC+BD=6+8=14].
  ②当直线[AC]的斜率存在且不为0时,设其方程为[y=kx+2,Ax1,y1,Cx2,y2],
  联立[y=kx+2,x216+y212=1]得,
  [3+4k2x2+16k2x+16k2-48=0].
  [∴x1+x2=-16k23+4k2,x1x2=16k2-483+4k2].
  [∴AC=1+k2x1+x22-4x1x2=241+k23+4k2].
  设直线[BD]的方程为[y=-1k(x+2)],

 同理可得,[BD=241+k24+3k2].
  [∴AC+BD=1681+k224+3k2?3+4k2].
  设[t=k2+1k≠0,]则[t>1.]
  [∴AC+BD=16812+t-1t2,t>1.]
  [∵0  综上可得,[AC+BD]的取值范围是[[967,14]].
  点评 直线与圆锥曲线的综合问题,常将直线方程代入圆锥曲线方程,从而得到关于[x](或[y])的一元二次方程,设出交点坐标[Ax1,y1,Cx2,y2],利用韦达定理得出坐标的关系,同时注意判别式大于零求出参数的范围(或者得到关于参数的不等关系),然后将所求转化到参数上再求解. 如本题先求[AC+BD=][1681+k224+3k2?3+4k2],然后求值域即可. 圆锥曲线问题中,参数多、字母多、运算繁琐,应注意设而不求思想和整体思想的应用.
  双参数最值问题
  此类问题往往有三种类型:(1)建立两个参数之间的等量关系和不等式关系,通过整体消元得到参数的取值范围;(2)建立两个参数的等量关系,通过分离参数,借助一个参数的范围,确定另一个参数的取值范围;(3)建立两个参数的等量关系,通过选取一个参数为自变量,另一个参数为变量(主元思想),从而确定参数的取值范围.
  例3 在平面直角坐标系[xOy]中,已知椭圆[C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)]的离心率[e=32],且椭圆[C]上一点[N]到点[Q(0,3)]的距离最大值为4,过点[M(3,0)]的直线交椭圆[C]于点[A,B].
  (1)求椭圆[C]的方程;
  (2)设[P]为椭圆上一点,且满足[OA+OB=tOP]([O]为坐标原点),当[AB<3]时,求实数[t]的取值范围.
  解析 (1)[∵e2=a2-b2a2=34,]
  [∴a2=4b2.]
  则椭圆方程为[x24b2+y2b2=1],即[x2+4y2=4b2].
  设[N(x,y)],
  则[NQ=x-02+y-32]
  [=4b2-4y2+y-32]
  [=-3y2-6y+4b2+9]
  [=-3y+12+4b2+12].
  当[y=-1]时,
  [NQ]有最大值为[4b2+12=4].
  解得,[b2=1.] [∴a2=4.]
  [∴]椭圆方程是[x24+y2=1] .
  (2)设[A(x1,y1),][B(x2,y2),][P(x,y),][AB]的方程为[y=k(x-3),]
  由[y=k(x-3),x24+y2=1]整理得,
  [(1+4k2)x2-24k2x+36k2-4=0.]
  由[Δ=242k4-4(1+4k2)(36k2-4)]得,[k2<15].
  又[x1+x2=24k21+4k2,x1x2=36k2-41+4k2],
  ∴[OA+OB=(x1+x2,y1+y2)=t(x,y)].
  则[x=1t(x1+x2)=24k2t(1+4k2)],
  [y=1t(y1+y2)=1t[k(x1+x2)-6k]=-6k2t(1+4k2)].
  又点[P]在椭圆上,则[(24k2)2t2(1+4k2)2+144k2t2(1+4k2)2=4.]
  化简得,[36k2=t2(1+4k2)]. ①
  又[|AB|=1+k2|x1-x2|<3],
  即[(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]<3.]
  将[x1+x2],[x1x2]代入得,
  [(1+k2)[242k4(1+4k2)2-4(36k2-4)1+4k2]<3,]
  化简得,[(8k2-1)(16k2+13)>0,]
  则[8k2-1>0, 即k2>18.]
  ∴[18  由①得,[t2=36k21+4k2=9-91+4k2.]
  联立②解得,[3  ∴[-2  点评 第(1)问转化为求二次函数最大值后,要注意变量的取值范围;第(2)问利用点[P]在椭圆上和已知向量等式得到变量[k, t]的等量关系和不等关系,联立求参数[t]的取值范围.

作者:不详 来源:网友发布
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