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曲线(轨迹)方程的求法

时间:2017-1-3 17:25:37

 高考对本部分知识的考查主要围绕两个问题进行布局和设计的:一方面求曲线(轨迹)方程在解析几何试题中占有很大的比例,另一方面重点考查用代数方法分析、解决几何问题的基本思想. 本文讨论在不同的曲线(轨迹)背景下求其方程的一些基本策略.
  直接(译)法
  在求曲线(轨迹)方程中,主要表现为直接将动点坐标化,将动点运动中满足的不变关系直接“翻译”成动点坐标之间的关系,从而得到曲线方程. 这种方法主要运用于题干条件与所求动点有着直接的数量关系或几何关系的题型.
  例1 已知过原点的动直线[l]与圆[C1: x2+y2-6x][+5=0]相交于不同的两点[A],[B]. 求线段[AB]的中点[M]的轨迹[C]的方程.
  解析 设[M(x,y)],又点[M]为弦[AB]的中点,则[C1M⊥AB].
  所以[kC1M?kAB=-1],
  即[yx-3?yx=-1].
  所以线段[AB]的中点[M]的轨迹[C]的方程为[(x-32)2+y2=94(53  点评 通过圆的交点弦的性质引出垂直直线的斜率之间的关系,从而得出交点弦中点的轨迹方程.
  待定系数法
  试题中给出了曲线类型(椭圆、双曲线等)或带未知系数的曲线方程,需要根据题设转化或者根据几何关系寻找等量关系,通过解方程求出有关量或直接确定系数,此方法一般结合曲线的性质进行转化.
  例2 设椭圆[x2a2+y23=1][(a>3)]的右焦点为[F],右顶点为[A]. 已知[1OF+1OA=3eFA],其中[O]为原点,[e]为椭圆的离心率. 求椭圆的方程.
  解析 设[F(c,0)],由[1|OF|+1|OA|=3e|FA|]可得,
  [1c+1a=3ca(a-c)],即[a2-c2=3c2].
  又[a2-c2=b2=3], 所以[c2=1],因此[a2=4].
  故所求椭圆的方程为[x24+y23=1].
  点评 本题是通过待定系数法求曲线方程的典型试题,除根据题设中的等量关系或者几何关系代数化得到方程外,还要注意由圆锥曲线中[a2=b2+c2]或[a2+b2=c2]等关系列出方程组.
  定义法与几何法
  此类问题一般先通过对条件的推理得到动点的轨迹符合相关曲线(圆、椭圆、双曲线、抛物线等)的定义,再根据定义写出动点的轨迹方程.
  例3 设圆[x2+y2+2x-15=0]的圆心为 [A],直线[l]过点[B(1,0)]且与[x]轴不重合,[l]交圆[A]于[C,D]两点,过[B]作[AC]的平行线交[AD]于点[E]. 证明:[|EA|+|EB|]为定值,并写出点[E]的轨迹方程.
  解析 如图,因为[|AD|=|AC|,][EB∥AC,]
  故[∠EBD=∠ACD=∠ADC]. 所以[|EB|=|ED|].
  故[|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|].
  又圆[A]的标准方程为[(x+1)2+y2=16,]
  从而[|AD|=4],所以[|EA|+|EB|=4].
  由题设得,[A(-1,0),B(1,0),|AB|=2].
  由椭圆定义得,点[E]的轨迹方程为[x24+y23=1][(y≠0)].
  点评 本题以圆的相关性质和平行线的性质为依托,利用角的转换得到线段的等量关系,从而得到动点到两定点的距离和为定值,转换到椭圆的定义求解.
  代入法(相关点法)
  此类问题一般有两个(或三个)动点,且动点间存在一定的依存关系,其中所求动点的轨迹方程很难直接求出;而另一动点的轨迹方程已知或能够根据题设条件较容易地得到轨迹方程,通过动点间的等量关系,用所求动点的坐标表示另一动点的坐标,再代入其方程从而得到所求动点的轨迹方程.
  例4 一种作图工具如下图所示. [O]是滑槽[AB]的中点,短杆[ON]可绕[O]转动,长杆[MN]通过[N]处铰链与[ON]连接,[MN]上的栓子[D]可沿滑槽[AB]滑动,且[DN=ON=1],[MN=3]. 当栓子[D]在滑槽[AB]内作往复运动时,带动[N]绕[O]转动一周([D]不动时,[N]也不动),[M]处的笔尖画出的曲线记为[C]. 以[O]为原点,[AB]所在的直线为[x]轴建立如下图所示的平面直角坐标系. 求曲线[C]的方程.
  解析 设[D]为[(t,0)(t≤2)],[N(x0,y0),][M(x,y)].
  依题意得,[MD=2DN],且[DN=ON=1].
  所以[(t-x,-y)=2(x0-t,y0),]且[(x0-t)2+y02=1,x02+y02=1.]
  即[t-x=2(x0-t),-y=2y0,]且[t(t-2x0)=0].
  由于当点[D]不动时,点[N]也不动,
  所以[t]不恒等于[0],于是[t=2x0].
  故[x0=x4,y0=-y2],代入[x02+y02=1]可得,
  [x216+y24=1].
  故所求曲线[C]的方程为[x216+y24=1].
  点评 一般用相关点法求轨迹方程的题目只涉及两个动点,而本题中通过滑槽形成三个动点,并利用了三个动点之间的联系设置问题.
  等量转化法
  一些轨迹问题,建立其动点坐标之间的关系的途径较为隐蔽,仅仅运用数形结合的观点去考虑“形向数”的转化不足以求出方程,通常需要联立方程组利用韦达定理转化. 通过数的运算和变式进行等量转化,求出结果,其中韦达定理在转换过程中起着重要的纽带作用. 例5 已知椭圆[C]:[x2a2+y2b2=1][(a>b>0)]的两个焦点分别为[F1(-1,0)],[F2(1,0)],且椭圆[C]经过点[P(43,13)].
  (1)求椭圆[C]的离心率;
  (2)设过点[A(0,2)]的直线[l]与椭圆[C]交于[M], [N]两点,点[Q]是线段[MN]上的点,且[2|AQ|2=1|AM|2+1|AN|2],求点[Q]的轨迹方程.
  解析 (1)[e=22].
  (2)由(1)知,椭圆[C]的方程为[x22+y2=1],设点[Q]的坐标为[(x,y)].
  ①当直线[l]与[x]轴垂直时,直线[l]与椭圆[C]交于[(0,1)],[(0,-1)]两点. 此时点[Q]的坐标为[(0,2-355)].
  ②当直线[l]不与[x]轴垂直时,设直线[l]的方程为[y=kx][+2]. 因为[M,N]在直线[l]上,可设点[M,N]的坐标为[(x1,kx1+2),][(x2,kx2+2),] 则[AM2=(1+k2)x12],[AN2=(1+k2)x22.]
  又[AQ2=x2+(y-2)2=(1+k2)x2],
  由[2|AQ|2=1|AM|2+1|AN|2]得,
  [2(1+k2)x2=1(1+k2)x12+1(1+k2)x22],
  即[2x2=1x12+1x22=(x1+x2)2-2x1x2(x1x2)2.] [①]
  将[y=kx+2]代入[x22+y2=1]中得,
  [(2k2+1)x2+8kx+6=0]. [②]
  由[Δ=(8k)2-4×(2k2+1)×6>0]得,[k2>32].
  由②可知,[x1+x2=-8k2k2+1,x1x2=62k2+1].
  代入[①]中并化简得,[x2=1810k2-3]. ③
  因为点[Q]在直线[y=kx+2]上,
  所以[k=y-2x],代入③中并化简得,
  [10(y-2)2-3x2=18].
  由③及[k2>32]可知,
  [0  又[0,2-355]满足[10(y-2)2-3x2=18,]
  故[x∈(-62,62)].
  由[Q]在椭圆内,所以[-1≤y≤1].
  又由[10(y-2)2=18+3x2]得,[(y-2)2∈95,94],且[-1≤y≤1]. 则[y∈12,2-355].
  所以,点[Q]的轨迹方程为[10(y-2)2-3x2=18],其中[x∈(-62,62)],[y∈12,2-355].
  点评 本题要注意对直线与[x]轴垂直的情况进行检验,还要考虑轨迹的实际范围,对符合题设条件的范围进行求解.
  由特殊到一般思想
  此类问题主要考查对轨迹问题的探究能力,在无法找到直接求曲线方程切入点的情况下,根据特殊值法求出满足题意的曲线、轨迹方程,再通过验证将方程推广到一般情况,若满足条件,则方程即为所求.
  例6 已知双曲线[E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)]的两条渐近线分别为[l1:y=2x,l2:y=-2x].
  (1)求双曲线[E]的离心率;
  (2)如下图,[O]为坐标原点,动直线[l]分别交直线[l1,l2]于[A,B]两点([A,B]分别在第一、 四象限),且[△OAB]的面积恒为[8],试探究:是否存在总与直线[l]有且只有一个公共点的双曲线[E]?若存在,求出双曲线[E]的方程;若不存在,说明理由.
  解析 (1)[e=5].
  (2)由(1)知,双曲线[E]的方程为[x2a2-y24a2=1].如图,设直线[l]与[x]轴相交于点[C].
  当[l⊥x]轴时,若直线[l]与双曲线[E]有且只有一个公共点,则[OC=a,AB=4a].
  又[△OAB]的面积为[8],
  所以[12OC?AB=8],所以[12a?4a=8.]
  所以[a=2].
  故双曲线的方程为[x24-y216=1].
  若存在满足条件的双曲线[E],则[E]的方程只能为[x24-y216=1]. 以下证明当直线[l]不与[x]轴垂直时,双曲线[E]:[x24-y216=1]仍满足条件.
  设直线[l]的方程为[y=kx+m],依题意得,[k>2]或[k<-2]. 则[C(-km,0)]. 记[A(x1,y1),B(x2,y2)].
  由[y=2x,y=kx+m]得,[y1=2m2-k]. 同理得,[y2=2m2+k].
  由[SΔOAB=12OC?y1-y2]得,
  [12-mk?2m2-k-2m2+k=8],即[m2=44-k2=4(k2-4).]
  由[y=kx+m,x24-y216=1]得,[(4-k2)x2-2kmx-m2-16=0].
  因为[4-k2<0],
  [所以Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+16)=-16(4k2-m2-16).]
  又[m2=4(k2-4)],
  所以[Δ=0],即[l]与双曲线[E]有且只有一个公共点.
  因此,存在总与[l]有且只有一个公共点的双曲线[E],且[E]的方程为[x24-y216=1].
  点评 由三角形面积公式得出[m2=4(k2-4)],通过这个式子对直线和曲线只有一个交点进行检验,最后得出双曲线的方程.

作者:不详 来源:网友发布
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