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直击点与圆的位置关系

时间:2016-10-12 10:22:45

毕达哥拉斯曾经说过:“一切立体图形中最美的是球形,一切平面图形中最美的是圆.”同学们,当你开始“圆”这一章的学习时就进入了一个神奇美丽的世界,让我们从学习点与圆的位置关系开始吧!
  一、 概念释疑
  认真的你一定会注意到,在我们的书本上对“圆”给出了两种不同的定义:
  1. 把线段OP绕着端点O在平面内旋转一周,端点P运动所形成的图形叫做圆.
  2. 圆是到定点的距离等于定长的点的集合.
  对于第一种解释大家应该很容易理解,对于第二种定义同学们可能就不太好理解了.通俗地讲集合就是由具有同一属性的对象汇总成的集体,第二种定义的意思就是:圆,只有一个圆心,圆心到圆上各点的长都相等,并且到圆心的距离等于定长的点都在这个圆上.
  二、 概念拓展
  如果我们在平面上画一个圆,我们可以知道平面内的点与这个圆存在三种位置关系:(1) 点在圆上;(2) 点在圆内;(3) 点在圆外.
  由此我们还可以得出两个结论:
  1. 圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合.
  2. 圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合.
  三、 例题的拓展
  苏科版《数学》教科书第39页尝试与交流:
  如图1,线段PQ=2 cm.
  (1) 画出下列图形:
  到点P的距离等于1 cm的点的集合;到点Q的距离等于1.5 cm的点的集合.
  (2) 在所画图中,到点P的距离等于1 cm,且到点Q的距离等于1.5 cm的点有几个?请在图中将它们表示出来.
  (3) 在所画图中,到点P的距离小于或等于1 cm,且到点Q的距离大于或等于1.5 cm的点的集合是怎样的图形?把它画出来.
  【解析】(1) 到点P的距离等于1 cm的点的集合是以P为圆心、1 cm长为半径的圆,到点Q的距离等于1.5 cm的点的集合是以Q为圆心、1.5 cm长为半径的圆,如图2-a;
  (2) 满足条件的点有两个,为(1)中两圆的交点M、N,如图2-b;
  (3) 由前面的概念可知这样的点既在☉P内或☉P上又得在☉Q外或☉Q上,即为如图2-c的阴影部分(包括边界).
  变式1 圆心位置、半径大小都确定
  如图3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=4,∠A=30°,E、F分别为AB、AC的中点,以B为圆心,BC为半径画圆,试判断点A、C、E、F与☉B的位置关系.
  【解析】在Rt△ABC中,∠A=30°,BC=4,所以AB=8>4,则点A在☉B外;很明显,点C在☉B上;BE=AB=4,所以点E在☉B上;连接BF,在Rt△BCF中,BF >BC,所以点F在☉B外.
  【点评】现在要判定平面内一点与圆的位置关系,除了通过画图,还可以通过比较该点到圆心的距离与半径的大小来判定,而后者以后会用得更多些.
  变式2 圆心位置不变,半径改变
  在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=4.以B为圆心、r为半径画圆,当r在什么范围时,点C在☉B内,点A在☉B外.
  【解析】要使点C在☉B内,r>BC=4;要使点A在☉B外,r  变式3 圆心位置改变,半径不变
  如图5,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=4,∠A=30°,点F为AC中点,点P为AB上一动点,以P为圆心、2为半径作☉P,当点P由B→A以1个单位每秒的速度运动(点P到A时运动停止)过程中,点F在☉P内有多少时间?
  【解析】由勾股定理易知AC=4,则AF=2.过F作FH⊥AB,可得FH=<2,因此点F一定有一段时间在☉P内.此时只要弄清何时圆心P与点F的距离为2,如图6中的P1、P2的位置.利用勾股定理可得P1H=1,同理P2H=1,则P1 P2=2,而点P以1个单位每秒的速度运动,因此点F在☉P内共2秒.
  变式4 圆心位置、半径大小都改变
  如图7,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=4,∠A=30°,点F为AC中点,点P为AB上一动点,当点P由B→A以1个单位每秒的速度运动时(点P到A时运动停止),以P为圆心的圆的半径也由0开始以1个单位每秒的速度变大. 在这个过程中,点F在☉P内有多少时间?
  【解析】如图8,根据变式3的运算结果,在Rt△AFH中,FH=,AH=3,则HB=5.假设点P运动t秒时点F正好在☉P上,则PB=PF=t,PH=5-t.在Rt△PFH中利用勾股定理可以算得t=2.8.接下来点F一直在☉P内,因此点F在☉P内共8-2.8=5.2(秒).
  同学们有没有发现上面的例子都是万变不离其宗——紧紧围绕着点与圆的位置关系,所以平时大家多积累一定能有更多收获!

作者:不详 来源:网友发布
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