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一元二次方程问题中的等量关系

时间:2016-10-12 10:22:12

可列一元二次方程解决的问题有多种,不管哪类问题,要列出一元二次方程,其关键在于寻找问题中的等量关系.本文试通过下列几个问题,和同学们一起来探讨列一元二次方程的几种常见等量关系.
  一、 增长率问题
  例1 (2016·湖南永州)某种商品的标价为400元/件,经过两次降价后的价格为324元/件,并且两次降价的百分率相同.
  (1) 求该种商品每次降价的百分率;
  (2) 若该种商品进价为300元/件,两次降价共售出此种商品100件,为使两次降价销售的总利润不少于3 120元,问第一次降价后至少要售出该种商品多少件?
  【思路分析】(1) 本题隐含的等量关系是“标价×(1-降价百分率)2=售价”,将售价、标价和降价百分率代入等量关系,即可得到解决问题所需的一元二次方程;(2) 本题包含一个不等关系“第一次降价时销售总利润+第二次降价时销售总利润≥3 120”,而销售利润=销售件数×每件利润.将销售件数和每件的利润分别代入不等关系,即可得到一个不等式.
  解:(1) 设该种商品每次降价的百分率为x,根据题意得:
  400(1-x)2=324.
  解得x=0.1=10%或x=1.9(不合题意,舍去).
  答:该种商品每次降价的百分率为10%.
  (2) 设第一次降价后至少要售出该种商品m件,根据题意得:
  [400(1-10%)-300]m+(324-300)(100-m)≥3 120.
  解得m≥20.
  答:第一次降价后至少要售出该种商品20件.
  【方法点拨】增长率问题中,若增长的基数为a,每次增长的平均增长率为x,则第一次增长后的数量为a(1+x),第二次增长是以a(1+x)为基数的,两次增长后的数量为a(1+x)2;基数是a,两次平均降低率为x,则第一次降低的数量为a(1-x),第二次降低后的数量为a(1-x)2.
  常用的等量关系为a(1±x)2=b.
  二、 病毒传播问题
  例2 某种电脑病毒传播速度非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台?
  【思路分析】设平均一台电脑会感染x台电脑,经过第一轮感染后,中毒电脑台数为(1+x)台,在第二轮传播中,每台电脑传染给x台,又有x(1+x)台电脑中毒,两轮传播后,一共有1+x+x(1+x)台电脑中毒.
  解:设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台电脑,依题意得:
  1+x+(1+x)x=81,
  (1+x)2=81,
  x+1=9或x+1=-9,
  解得x1=8或x2=-10(舍去),
  则(1+x)3=(1+8)3=729>700.
  答:每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑,3轮感染后,被感染的电脑会超过700台.
  【方法点拨】在计算电脑传播台数的时候,不能忘记统计最初的一台电脑以及一轮传播过程中被感染的电脑,病毒传播问题常用的相等关系是“最初的传染源+每轮被感染数目之和=被感染总数”.
  三、 聚会握手问题
  例3 在某次同学聚会上,每两人都握了一次手,所有人共握手45次,有多少人参加这次聚会?
  【思路分析】设x人参加聚会,用含x的代数式表示握手的次数,即可得到一个一元二次方程.
  解:设有x人参加这次聚会,
  根据题意可得:x(x-1)÷2=45,
  x2-x-90=0,
  (x-10)(x+9)=0,
  x-10=0或x+9=0,
  x=10或x=-9(舍去).
  答:共有10名学生参加聚会.
  【方法点拨】x个同学握手,每个同学都和其他(x-1)个同学握手一次,因此x人共握手x(x-1)次,由于甲与乙握手后,乙不需要再和甲握手,因此总握手次数为.
  四、 票价问题
  例4 某旅游景点为了吸引游客,推出的团体票收费标准如下:如果团体人数不超过25人,每张票价150元,如果超过25人,每增加1人,每张票价降低2元,但每张票价不得低于100元,阳光旅行社共支付团体票价4 800元,则阳光旅行社共购买多少张团体票?
  【思路分析】由于票价与人数多少有关,所以需先判断团体人数是不是超过25人,由150×25=3 750<4 800,所以团体人数超过25人.设共购买了x张团体票,则每张票的价格为150-2(x-25)元,根据总票价为4 800,可得方程x×[150-2(x-25)]=4 800.
  解:∵150×25=3 750<4 800,∴购买的团体票超过25张.
  设共购买了x张团体票.
  由题意列方程得x×[150-2(x-25)]=4 800,
  x2-100x+2 400=0,
  解得x1=60,x2=40,
  当x1=60时,不符题意,舍去,
  x2=40符合题意,∴x=40.
  答:共购买了40张团体票.
  【方法点拨】本题的等量关系实际上就是表示出总票价4 800,而“总票价=每张票价×门票总数”,所以这类问题只需按照游客人数,确定出门票的单价和购买门票总数,即可列出一元二次方程.
  五、 不规则图形面积问题
  例5 (2016·江苏徐州)下图是由三个边长分别为6、9和x的正方形所组成的图形,若直线AB将它分成面积相等的两部分,则x的值是( ).A. 1或9 B. 3或5 C. 4或6 D. 3或6
  【思路分析】解决本题的关键是如何将不规则的图形转化为规则图形. AB将这个图形分成面积相等的两部分,但这两部分是不规则的图形,面积不容易表示,我们可以考虑将其补全为一个矩形,那么AB将矩形分成面积相等的两个直角三角形,再根据题意可知,AB两旁补上的矩形面积也相等.据此列出方程,进而求出x的值.
  解:将此图形按如图方式补全为矩形,根据题意得:x(9-x)=6×3,
  x2-9x+18=0,
  解得:x1=3,x2=6,故选择D.
  【方法点拨】在解决不规则图形的面积计算时,通常是通过分割或补全的方法,转化为规则图形,再使用规则图形的面积公式进行计算.等量关系常与图形之间的面积关系有关.
  六、 铁丝围矩形问题
  例6 (2015·四川广元)李明准备进行如下操作实验:把一根长40 cm的铁丝剪成两段,并把每段首尾相连各围成一个正方形.
  (1) 要使这两个正方形的面积和等于58 cm2,李明应该怎么剪这根铁丝?
  (2) 李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2.你认为他的说法正确吗?请说明理由.
  【思路分析】(1) 设其中一个正方形的边长为x cm,则另一个正方形的边长为(10-x) cm,就可以表示出这两个正方形的面积,根据“两个正方形的面积之和等于58 cm2”建立方程求出其解即可;
  (2) 设其中一个正方形的边长为y cm,则另一个正方形的边长为(10-y) cm,就可以表示出这两个正方形的面积,根据“两个正方形的面积之和等于48 cm2”建立方程,如果方程有解就说明李明的说法错误,否则正确.
  解:(1) 设其中一个正方形的边长为x cm,则另一个正方形的边长为(10-x) cm,
  由题意得x2+(10-x)2=58.
  解得x1=3,x2=7,
  ∴这两个正方形的周长分别为4×3=12(cm),4×7=28(cm),
  ∴李明应该把铁丝剪成12 cm和28 cm的两段.
  (2) 李明的说法正确.
  设其中一个正方形的边长为y cm,则另一个正方形的边长为(10-y) cm,
  由题意得y2+(10-y)2=48,整理得y2-10y+26=0,
  ∵Δ=(-10)2-4×1×26=-4<0,
  ∴此方程无实数根,即这两个正方形的面积之和不能等于48 cm2.
  ∴李明的说法是正确的.
  【方法点拨】本题中的等量关系很明确,“两个正方形的面积和等于58 cm2”.

作者:不详 来源:网友发布
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