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例题是拓展提高学习实效好方法

时间:2016-10-12 10:20:31

教科书中的例题是围绕本节(或本章)的概念、定理而设置的典型题目,在平时的学习过程中,往往有些同学不重视、不关注.本文借助于课本中一道题,加以变式拓展,希望能带给同学们一些新的认识.
  原题呈现:苏科版《数学》九年级上册第34页:
  如图1,在矩形ABCD中,AB=16 cm,BC=6 cm,点P从点A出发,以3 cm/s的速度向点B移动,直到到达点B为止;同时点Q从点C出发,以2 cm/s的速度向点D移动,经过多长时间P、Q两点之间的距离是10 cm?
  【分析】设运动时间为t秒,因为PQ长为10 cm,所以构造出以PQ为斜边的直角三角形,作PH⊥CD,垂足为H,用t表示出线段HQ的长,用勾股定理列方程即可求解.
  解:设P,Q两点从出发经过t秒时,点P,Q间的距离是10 cm,
  如图2,作PH⊥CD,垂足为H,
  则PH=BC=6,PQ=10,
  HQ=CD-AP-CQ=16-5t.
  因为PH2+HQ2=PQ2,
  可得:(16-5t)2+62=102,
  解得t1=4.8,t2=1.6.
  答:P,Q两点从出发经过1.6或4.8秒时,点P,Q间的距离是10 cm.
  变式一 条件不变,在运动过程中,点P和点Q之间的距离可能是18 cm吗?如果可能,求出运动时间t,如果不可能,请说明理由.
  解:与上述过程相同,
  (16-5t)2+62=182,
  解得t1=,t2=.
  由于>6,<0,
  所以在运动过程中,点P和点Q之间的距离不可能是18 cm.
  变式二 (2016·威海一模)如图3,在矩形ABCD中,AB=16 cm,BC=6 cm,动点P、Q分别从点A、C同时出发,点P以3 cm/s的速度向点B移动,直到到达点B为止,点Q以2 cm/s的速度向点B移动,经过多长时间P、Q两点之间的距离是10 cm?
  [图5][图4][图3]
  【分析】设P,Q两点从出发经过t秒时,点P,Q间的距离是10 cm,表示出PB、BQ,利用勾股定理建立方程求得答案即可.
  解:设P,Q两点从出发经过t秒时,点P,Q间的距离是10 cm,
  则PB=16-3t,BQ=6-2t,
  因为PB2+BQ2=PQ2,
  所以(16-3t)2+(6-2t)2=102,
  解得t1=,t2=.
  又因为0  答:P,Q两点从出发经过秒时,点P,Q间的距离是10 cm.
  变式三 条件不变,如图4,∠DQP能否为直角?若能,请求出相应的时间t的值.
  【分析】题目明确问∠DQP能否为直角,所以需要构建△DQP,再根据勾股定理求解.
  解:能.
  由∠DQP=90°,则有DQ2=DP2-PQ2,
  所以(16-2t)2=62+(3t)2-62,
  解得:t=.
  当t=时,∠DQP为直角.
  变式四 条件不变,经过多长时间,点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形?
  【分析】设时间为t s,过P作PM⊥CD于M,过Q作QN⊥AB于N,根据四边形ABCD是矩形可知DC=AB=16 cm,AD=BC=PM=QN=6 cm,∠A=∠C=∠B=∠ADC=90°,故DM=AP=3t cm,BN=CQ=2t cm,再分DP=PQ,DQ=PQ及DP=DQ三种情况进行讨论即可.
  解:设时间为t s,过P作PM⊥CD于M,过Q作QN⊥AB于N(如图5),
  因为四边形ABCD是矩形,所以DC=AB=16 cm,AD=BC=PM=QN=6 cm,
  ∠A=∠C=∠B=∠ADC=90°,
  则DM=AP=3t cm,BN=CQ=2t cm.
  分为三种情况:
  ①当DP=PQ时,则DM=MQ=3t cm,
  ∵3t+3t+2t=16,解得:t=2;
  ②当DQ=PQ时,在Rt△PNQ中,由勾股定理得:(16-2t)2=62+(16-3t-2t)2,
  7t2-32t+12=0,
  解得:t==,
  因为t=>(舍去),
  所以t=;
  ③当DP=DQ时,在Rt△DAP中,由勾股定理得:(16-2t)2=62+(3t)2,
  即5t2+64t-220=0,
  解得t==,
  因为<0,所以t=.
  答:经过2秒、秒或秒时,点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形.
  变式五 如图6,在矩形ABCD中,AB=12 cm,BC=4 cm,点P以4 cm/s的速度从顶点A出发沿折线A—B—C向点C运动,同时点Q以2 cm/s的速度从顶点C出发向点D运动,当其中一个动点到达末端停止运动时,另一点也停止运动.问两动点经过多长时间,使得点P与点Q之间的距离为2.
  【分析】注意题目中对两动点运动的表述,从而知道每个动点的运动路径.不难看出P分别在AB、BC上运动,所以需要分类讨论.
  解:设两动点经过t秒使得点P与点Q之间的距离为2.
  ①当0  解得t=或;
  ②当3  得方程5t2-32t+59=0,
  此时Δ<0,此方程无解.
  综上所述,当t=或时,点P与点Q之间的距离为2.
  通过以上题目的变式,同学们一定会发现解决此类问题,关键是要会表示出相关线段长,利用勾股定理,再结合方程进行求解.同学们也可以作适当的变式,试试看,你会发现新天地.

作者:不详 来源:网友发布
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