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解一元二次方程合适的方法

时间:2016-10-12 10:08:28

干什么事都有诀窍,解一元二次方程也是如此.一元二次方程有四种基本解法:直接开平方法,配方法,求根公式法,因式分解法.在解一元二次方程时,我们应当仔细观察方程的形式和系数特点,选择适当的方法,力求解题过程简洁、明快.
  一、 适合用直接开平方法求解的方程
  例1 用直接开平方法解下列方程.
  (1) x2-4=0;(2) (x+3)2-2=0;(3) 4(x-2)2=9(x+3)2.
  【分析】(1) 将方程化为x2=4,然后两边直接开平方;(2) 将(x+3)2-2=0化为(x+3)2=2的形式,然后两边直接开平方;(3) 把(x-2)和(x+3)分别作为一个整体,然后考虑使用直接开平方法.
  解:(1) 移项,得x2=4.
  因为x是4的平方根,所以x=±2,
  即x1=2,x2=-2.
  (2) 移项,得(x+3)2=2.
  两边直接开平方,得x+3=±.
  所以x+3=,x+3=-,
  即x1=-3,x2=--3.
  (3) 根据平方的性质有:2(x-2)=3(x+3)或2(x-2)=-3(x+3),
  即:x1=-13,x2=-1,
  【点评】形如x2=b、(x-a)2=b、(x-a)2=(x-b)2的方程适合用直接开平方法来求解.
  二、 什么时候选用配方法解一元二次方程
  例2 (1) x2-4x=396;(2) 3x2-2x-3=0.
  【分析】利用配方法解一元二次方程的步骤:
  (1) 把方程中含有未知数的项移到方程的左边,常数项移到方程的右边;
  (2) 把二次项系数化为1;
  (3) 方程两边都加上一次项系数的一半的平方,使左边配成一个完全平方式,右边是常数;
  (4) 如果方程的右边是一个非负数,就用直接开平方法求出它的解;如果方程的右边是一个负数,那么这个方程无解.
  解:(1) ∵x2-4x=396,
  ∴x2-4x+4=400,
  ∴(x-2)2=400,
  ∴x-2=±20,
  ∴x1=-18,x2=22;
  (2) 把二次项系数化为1,得x2-x-1=0,
  移项,得x2-x=1,
  配方,得x2-x+=1+,即x
  -2=,
  两边开平方,得x-=或x-=
  -,
  解得:x1=,x2=.
  【点评】对比这两个方程可以发现,第一个方程用配方法方便些,第二个方程较繁琐,对于具备形如完全平方式的雏形的方程用配方法比较方便.
  三、 因式分解解哪类一元二次方程更便捷
  例3 解方程:(1) (4x+2)2=x(2x+1);
  (2) x2-(3+)x+=0.
  解:(1) ∵(4x+2)2=x(2x+1),
  ∴4(2x+1)2-x(2x+1)=0,
  ∴(2x+1)(7x+4)=0,
  ∴2x+1=0或7x+4=0,
  ∴x1=-,x2=-;
  (2) ∵x2-(3+)x+=0,
  ∴(x-3)(x-)=0,
  ∴x-3=0或x-=0,
  ∴x1=3,x2=.
  【点评】这两个方程显然用因式分解法比较简便,为什么呢?因为这两个方程有一个共同的特征,能通过移项将方程右边化为0,而左边可通过因式分解化成乘积的形式.常见的适合因式分解法的方程的基本形式有x2-a2=0、x2+bx=0、x2-(a+b)x+ab=0.
  四、 公式法是把“万能钥匙”,它对任何形式的一元二次方程都适用
  例4 2x2-x-1=0.
  解:a=2,b=-,c=-1,
  ∵b2-4ac=3+8=11,
  ∴x1=,x2=.
  【点评】运用公式法解一元二次方程的时候,只需找准方程的a、b、c的值,即先把方程化为一般形式.公式法可以求任何形式的一元二次方程的解,不过由于公式法的运算量较大,因此如果能使用其它方法,尽可能选用其它方法来解.但如果方程已经化成一般形式,则选用公式法较为简便.
  那么选择合适的方法来解一元二次方程的考虑方式如何呢?
  (1) 如果题目适合使用直接开平方法解方程,那就直接使用开平方法解方程;
  (2) 能使用因式分解方法求解的一元二次方程,就不要使用公式法解决;
  (3) 不易使用因式分解法解的方程,且方程中的系数绝对值较大时,考虑使用配方法解方程;
  (4) 公式法是解决一元二次方程的通用方法,当其它方法都不易解决时,考虑使用公式法解题.

作者:不详 来源:网友发布
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