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七年级平行线的判定(即直线平行的条件)

时间:2016-8-1 11:23:07

七年级下学期的课本中与几何有关的章节是第七章和第十二章,分别是《平面图形的认识(二)》和《证明》.第七章大致可分为两部分:平行线和三角形.平行线的相关性质和定理是初中几何学习的基础,比如三角形的内角和定理就是依据平行线的相关性质推导出来的.因此可以认为,第七章里前面平行线的相关内容是为后面三角形的内容做铺垫,而多边形内角和、外角和又是三角形相关内容的延伸.整个第七章是一个逻辑严密的整体,它还是八年级学习等腰三角形、直角三角形、平行四边形等内容的基础,是初中几何知识最重要的基础.第十二章《证明》则简要介绍了常见的说理证明的方法.内容比较简略,南京家教不赘述.为了让同学们更好地掌握第七章的内容,下面给同学们解读一下其中的重要知识点. 
  重点1:平行线的判定(即直线平行的条件) 
  关于这个内容,课本共有三条结论:1. 同位角相等,两直线平行;2. 内错角相等,两直线平行;3. 同旁内角互补,两直线平行.其中,结论1是基本事实,是人们公认的真命题,无须证明.结论2和结论3,可以用定理“对顶角相等”、“同角的补角相等”再经由结论1加以证明,是平行线的判定定理. 

 
  例1 如图1,直线l1、l2被直线l3、l4所截,下列条件中,不能判断直线l1∥l2的是( ). 
  A. ∠1=∠3 
  B. ∠5=∠4 
  C. ∠5+∠3=180° 

 
  D. ∠4+∠2=180° 
  【分析】依据平行线的判定的三条结论可知: 
  A. 已知∠1=∠3,根据内错角相等,两直线平行可以判断,故命题正确; 
  B. 不能判断; 
  C. 同旁内角互补,两直线平行,可以判断,故命题正确; 

 
  D. 同旁内角互补,两直线平行,可以判断,故命题正确. 
  故选B. 
  【点评】正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键,不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系,只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补,才能推出两直线平行. 
  重点2:平行线的性质 
  平行线的性质定理,课本共有三条结论,合起来可以说成:两直线平行,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.其中“两直线平行,同位角相等”在证明时还初步使用了反证法进行说理(参看教材16页).后两个定理,可以经由“两直线平行,同位角相等”直接加以证明. 
  例2 (1) 如图甲,AB∥CD,试问∠2与∠1+∠3的关系是什么?为什么? 

 
  (2) 如图乙,AB∥CD,试问∠2+∠4与∠1+∠3+∠5一样大吗?为什么? 
  (3) 如图丙,AB∥CD,试问∠2+∠4+∠6与∠1+∠3+∠5+∠7哪个大?为什么? 
  你能将它们推广到一般情况吗?请写出你的结论. 
  【分析】看这“峰回路转”的折线夹在两条平行线之间,容易联想到内错角这一形象.这样就可以依据“两直线平行,内错角相等”来添加辅助线进行解题.具体解法如下: 
  (1) ∠2=∠1+∠3. 
  过点E作EF∥AB, 
  ∵AB∥CD, 
  ∴AB∥CD∥EF, 
  ∴∠BEF=∠1, 
  ∠CEF=∠3, 
  ∴∠2=∠BEF+∠CEF=∠1+∠3; 
  (2) ∠2+∠4=∠1+∠3+∠5. 
  分别过点E,G,M,作EF∥AB,GH∥AB,MN∥AB, 
  ∵AB∥CD, 
  ∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN, 
  ∴∠1=∠BEF,∠FEG=∠EGH, 
  ∠HGM=∠GMN,∠CMN=∠5, 
  ∴∠2+∠4=∠BEF+∠FEG+∠GMN+∠CMN=∠1+∠EGH+∠MGH+∠5=∠1+∠3+∠5; 
  (3) ∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7. 
  分别过点E,G,M,K,P,作EF∥AB, 
  GH∥AB,MN∥AB,KL∥AB,PQ∥AB, 
  同(2)可得 
  ∴∠1=∠BEF,∠FEG=∠EGH,∠HGM=∠GMN,∠KMN=∠LKM,∠LKP=∠KPQ,∠QPC=∠7, 
  ∴∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7. 
  归纳:开口朝左的所有角度之和与开口朝右的所有角度之和相等. 
  重点3:图形的平移 
  图形的平移是初中学习的三种最重要的几何变换之一.另外两种重要的几何变换——轴对称、旋转将在八年级学习.平移的两个要素是方向和距离.这可以分别用具体的方向和距离给出,也可以用一个有向线段给出,比如像“把△ABC平移,使顶点A移动到点A′的位置”这样的说法.图形的平移的结论有:平移前后的图形中,对应点的连线平行(或在同一直线上)且相等.此外,同学们还要掌握平移图形的画法. 
  例3 如图5,经过平移,四边形ABCD的顶点A移到点A′,做出平移后的四边形. 
  【分析】依据“平移前后的图形中,对应点的连线平行且相等”,过点B、C、D分别作直线AA′的平行线,并在直线上分别截取BB′=CC′=DD′=AA′,再顺次连接A′、B′、C′、D′即可(如图6).

作者:不详 来源:网友发布
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