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2016年全国新课标1卷高考压轴题用洛必达法则巧解

时间:2016-7-31 13:44:45

“洛必达法则”简介
  法则1若函数f(x)和g(x)满足下列条件:(1)limx→af(x)=0及limx→ag(x)=0;(2)在点a的去心邻域内,f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0;(3)limx→af′(x)g′(x)=l,那么limx→af(x)g(x)=limx→af′(x)g′(x)=l.
  法则2若函数f(x)和g(x)满足下列条件:(1)limx→∞f(x)=0及limx→∞g(x)=0;
  (2)A>0,f(x)和g(x)在(-∞,A)与(A,+∞)上可导,且g′(x)≠0;
  (3)limx→∞f′(x)g′(x)=l,那么limx→∞f(x)g(x)=limx→∞f′(x)g′(x)=l.
  法则3若函数f(x)和g(x)满足下列条件:(1)limx→af(x)=∞及limx→ag(x)=∞;
  (2)在点a的去心邻域内,f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0;(3)limx→af′(x)g′(x)=l,
  那么limx→af(x)g(x)=limx→af′(x)g′(x)=l.
  3试题与解法分析
  (2016年全国1卷理21题)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.(1)求a的取值范围;
  我们只研究第一问.
  解法一由已知得:f′(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).
  ①若a=0,那么f(x)=0(x-2)ex=0x=2,f(x)只有唯一的零点x=2,不合题意;
  ②若a>0,那么ex+2a>ex>0,所以当x>1时,f′(x)>0,f(x)单调递增;当x<1时,f′(x)<0,f(x)单调递减.故f(x)在(1,+∞)上至多一个零点,在(-∞,1)上至多一个零点.由于f(2)=a>0,f(1)=-e<0,则f(2)·f(1)<0,根据零点存在性定理,f(x)在(1,2)上有且仅有一个零点.而当x<1时,exe(x-2)+a(x-1)2=a(x-1)2+e(x-1)-e.
  则f(x)=0的两根x1=-e-e2+4ae2a+1,x2=-e+e2+4ae2a+1,x10,故当xx2时,a(x-1)2+e(x-1)-e>0,因此,当x<1且x0.
  又f(1)=-e<0,根据零点存在性定理,f(x)在(-∞,1)上有且只有一个零点.此时,f(x)在R上有且只有两个零点,满足题意.
  ③若-e20,f(x)单调递增;当ln(-2a)eln(-2a)+2a=0,即f′(x)=(x-1)(ex+2a)<0,f(x)单调递减;当x>1时,x-1>0,ex+2a>eln(-2a)+2a=0,即f′(x)>0,f(x)单调递增.而极大值f[ln(-2a)]=-2a[ln(-2a)-2]+a[ln(-2a)-1]2=a{[ln(-2a)-2]2+1}<0
  故当x≤1时,f(x)在x=ln(-2a)处取到最大值f[ln(-2a)],那么f(x)≤f[ln(-2a)]<0恒成立,即f(x)=0无解.而当x>1时,f(x)单调递增,至多一个零点,此时f(x)在R上至多一个零点,不合题意.
  ④若a=-e2,那么ln(-2a)=1,当x<1=ln(-2a)时,x-1<0,ex+2a0,f(x)单调递增;当x>1=ln(-2a)时,x-1>0,ex+2a>eln(-2a)+2a=0,即f′(x)>0,f(x)单调递增,又f(x)在x=1处有意义,故f(x)在R上单调递增,此时至多一个零点,不合题意.
  ⑤若a<-e2,则ln(-2a)>1,当x<1时,x-1<0,ex+2a0,f(x)单调递增,当10,ex+2aln(-2a)时,ex+2a>eln(-2a)+2a=0,x-1>ln(-2a)-1>0,,即f′(x)>0,f(x)单调递增,故当x≤ln(-2a)时,f(x)在x=1处取到最大值f(1)=-e,那么f(x)≤-e<0恒成立,即f(x)=0无解,当x>ln(-2a)时,f(x)单调递增,至多一个零点.此时f(x)在R上至多一个零点,不合题意.
  综上所述,当且仅当a>0时符合题意,即a的取值范围为(0,+∞).
  解法二(利用洛必达法则):显然x=1不是函数f(x)的零点.当x≠1时,方程f(x)=0等价于-a=x-2(x-1)2ex,设g(x)=x-2(x-1)2ex,则g′(x)=x2-4x+5(x-1)3ex,显然x2-4x+5>0,所以g(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.利用洛必达法则,
  limx→-∞g(x)=limx→-∞x-2(x-1)2ex=limx→-∞(x-2)′[(x-1)2e-x]′=limx→-∞1e-x(-x2+4x-3)=0.
  而limx→1-g(x)=limx→1-x-2(x-1)2ex=-∞,所以g(x)在(-∞,1)上的取值范围是(-∞,0),同理g(x)在(1,+∞)上的取值范围是(-∞,+∞).g(x)图象如右图.
  因此,当-a<0即a>0时,函数f(x)有两个零点,所以a的取值范围为(0,+∞).
  评注解法一分类的情况比较多,讨论的过程比较复杂,容易丢解或者漏解,以致于花费大量时间还容易解错.解法二在参数与变量分离后,转化为求函数的最值(值域),此时,利用“洛必达法则”可轻松处理.
  4结束语
  高考是选拔考试,数学的区分度高,有利于高校选拔具有学习潜能的人才.从近年来全国各地高考试题来看,以高等数学为背景的“高观点”中学数学问题“频频登场”,此类问题也可用初等方法求解,但是要么过程繁琐,要么技巧性高,学生大都觉的高不可攀,望题兴叹,但是如果能运用“高观点”居高临下地分析和处理此类问题,往往简单易行.
  在初等数学教学中,向学生渗透极限等高等数学思想,对以后学好高等数学具有很大的实际意义.而在极限的理论中,“洛必达法则”发挥着重要的作用.

作者:不详 来源:网友发布
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