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一次函数模型应用

时间:2016-7-24 22:33:58

在学习某一数学知识的过程中,学生经常会提出这样的问题:老师,学了这个知识有什么用?如果我们回答:为了解题,为了考试. 显然没有说服力. 就目前我们所学的知识,难道真的找不到它的用武之地吗?本文以笔者所上的一节“一次函数模型应用”课为例来说明函数的应用.
  在本次课之前,笔者所教授的班级已经学习了正比例函数与一次函数,教学片段展示如下.
  问题1:你能用我们学过的函数模型近似地描述“某地铁线路的盈利额与乘客量之间的关系”吗?
  生:首先应确定票价,设票价为a,设盈利额为y,乘客量为x,则可用正比例函数模型,即y=ax来描述.
  师:大家同意该生的观点吗?
  生:结合实际情况来看,地铁运营要有固定的成本,所以当乘客数x=0时,利润y应为负值,所以它应该是一次函数模型,即y=ax+b.
  师:好,我们来回顾一下一次函数的相关知识.
  生:一次函数的关系式是y=kx+b,其图像是一条直线. 当k>0时,y随x的增大而增大. 若b>0时,则直线过第一、二、三象限,如图1所示;若b<0时,则直线过第一、三、四象限,其图像如图2所示.
  当k<0时,y随x的增大而减小,若b>0时,则直线过第一、二、四象限,如图3所示;若b<0时,则直线过第二、三、四象限,其图像如图4所示.
  师:在这里k起到什么作用?
  生:反映了直线的倾斜程度,当k>0时,k越大,直线越陡峭;k越接近于0,直线越平缓. 当k<0时,k越小,直线越陡峭;k越接近于0,直线越平缓.
  师: 那么这个函数的图像大致形状是什么样的?
  生:如图2所示.
  师:同学们是否有异议?
  生:函数是有定义域限制的,乘客量应是正整数,而且是有限的,所以该函数的图像应为在某条线段上的一些整点.
  师:非常好!为了研究方便,我们就近似地用直线来表示这个函数的图像.
  评析:通过问题的引入,引导学生联系所学知识与生活问题建立关联. 但要注意生活问题因有其实际意义,故不能直接套用所学数学模型,应根据实际问题对函数模型进行相应的调整. 将生活中的数学问题构造出的模型,大多为一种符号模型,即把题目中的已知量、未知量、常量、变量分别列出,再添加题目的各种约束条件,进而得出相应的数学结论.
  问题2:如果目前这条线路处于亏损状态,你们有什么办法令其扭亏为盈吗?
  生:提高票价.
  师:虽然简单粗暴,但确实是行之有效的办法. 如果提高了票价,那么函数的图像有什么变化?
  生:提高票价,即直线的倾斜程度变得更陡峭,如图5所示.
  师:当然,票价提高多少,还需要做科学的调查,我们在此先不做深入研究. 还有没有其他的办法?
  生:降低成本.
  师:你很有奉献精神. 如果降低了成本,函数的图像又会有什么变化?
  生:票价不变,说明直线的倾斜程度不变,直线向上平移,如图6所示.
  师:当然实际情况可能不像我们所想象的那样简单,地铁公司可能有更科学的定价方案.
  评析:通过对问题1进行变式,由函数模型与实际问题的关系,利用函数模型实现对实际问题的处理,从而提出有针对性的策略.
  问题3:请同学们思考一下,如果我们也近似用一次函数模型来表示,那么随着票价的增加,乘客量会有什么变化?
  生:票价越高,乘坐地铁的人就会越少. 设票价为x,乘客量为y,则y=kx+b(k<0).
  师:若票价与乘客量之间的关系如图7所示,则票价为多少时,盈利额最大?
  生:由图知,当票价x=1时,y=10;x=5时,y=2.将其代入直线方程y=kx+b,得k+b=10,5k+b=2, 解得k=-2,b=12.所以函数关系式为y=-2x+12.
  师:能否求出盈利额的最大值?以及当盈利额最大时,票价应定为多少?
  生:设盈利额为L,成本为B,则有L=x(-2x+12)-B. 因此当票价x=3时,盈利额最大,最大值为18-B.
  师:函数模型确定以后,我们就可以用于决策方案的确定. 当然具体问题的处理不像我们所设想的这样简单.
  评析:把生活问题转化为相应的数学模型后,再根据要求对该模型进行求解.通常情况下,把实际应用问题数学化之后,生活问题便成为普通的数学问题了.
  问题4:该地铁公司决定实行按照乘车里程分段计价. 方案如下:
  乘坐地铁方案6公里(含)内3元;
  6公里至12公里(含)4元;
  12公里至22公里(含)5元;
  22公里至32公里(含)6元;
  32公里以上部分,每增加1元可乘坐20公里(含).
  已知在某段线路上,任意一站到A站的票价不超过5元,现从那些只乘坐该线路地铁,且在A站出站的乘客中随机选出120人,他们乘坐地铁的票价统计如图8所示. 如果从那些只乘坐该线路地铁,且在A站出站的乘客中任选1人,试估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率.
  生:记事件A为“此人乘坐地铁的票价小于5元”. 由统计图可知,得120人中票价为3元、4元、5元的人数分别为60,40,20.所以票价小于5元的有60+40=100(人).
  故120人中票价小于5元的频率是=.?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇
  所以估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率P(A)=.
  师:使用市政交通一卡通刷卡,每自然月内每张卡支出累计满100元以后的乘次,价格给予8折优惠;满150元以后的乘次,价格给予5折优惠;支出累计达到400元以后的乘次,不再享受打折优惠.
  某同学上学,需要乘坐地铁15.9公里到达学校,每天上下学共乘坐两次,每月按上学22天计算. 如果该同学每次乘坐地铁都使用市政交通一卡通,那么他每月第21次乘坐地铁里时,他刷卡支出的费用是________元;他每月上下学乘坐地铁的总费用是_______元.
  生:该生每天的上下学的费用分别为5元,即每天10元. 10天后花费100元,第21次乘坐地铁时,价格给予8折优惠,此时花费5×0.8=4元.
  10天后的费用为100元,再过6天后花费8×6=48元,此时合计花费148元.
  第17天上午累积花费148+4=152元,从第17天的下午开始车费为5×0.5=2.5元. 此时到22天结束还需要要乘车11次,需要花费2.5×11=27.5元.
  故合计152+27.5=179.5元.
  答案为4;179.
  评析:通过仔细审视题目信息,弄清题目中的每一个词语的含义,深入挖掘其中所涉及的隐含信息;再将题目中生活、生产中的语言准确地用我们所学数学语言表达出来,分清条件和结论,理顺题目中各种数量之间的关系,联想归结为自己所熟悉的某种基本数学关系.
  总之,应用函数模型解决实际问题时可遵从如下步骤:首先,对实际问题进行模型概括:探究实际生活问题中各变量间的关系,并用x,y分别表示问题中的变量;其次,确立函数模型:将变量y表示为x的函数,建立的函数模型即为函数的解析式;最后,求解函数模型:根据实际生活问题所需要解决的目标及函数式的结构特点,准确选择相应的函数知识求模型的解,并将所得结论应用到实际问题中.
  当然,数学模型的应用不仅局限于此. 数学来源于生活,应用于生活,我们要善于观察身边的事物,用所学的知识去解决生活中的问题,让数学变得不再枯燥. 笔者在此抛砖引玉,希望对读者有所启发,共同探究应用数学知识解决生活问题,真正实现学有所用、学以致用.(南京家教网

作者:不详 来源:网友发布
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