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圆锥曲线中的典型问题

时间:2016-7-16 18:24:26

离心率问题
  例1 已知[F1,F2]是双曲线[x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)]的左、右焦点,若双曲线的左支上存在一点[P]与点[F2]关于直线[y=bax]对称,则该双曲线的离心率为( )
  A. [52] B. [5]
  C. [2] D. [2]
  解析 由条件及图形分析得,
  在[△PF1F2中,F1F2=2c,PF2=2b,PF1=2a].
  由双曲线定义得,[2b-2a=2a],
  则[b=2a]. 故[e=1+(ba)2=5].
  答案 B
  点拨 此类题中有一些几何条件直接代数化比较复杂,故要数形结合,优先从几何角度分析转化条件. 比如例1中,点[P]与[F2]关于直线[y=bax]对称,可转化为直线[y=bax]的垂直平分线段[PF2],进而得到[PF2=2b,][PF1=2a].
  例2 [A1,A2,B1,B2]为椭圆[x2a2+y2b2=1(a>b>0)]的四个顶点,[F]为其右焦点,直线[A1B2]与直线[B1F]相交于点[T],线段[OT]与椭圆的交点[M]恰好为线段[OT]的中点,则该椭圆的离心率为 .
  解析 由题意知,直线[A1B2]的方程为[y=bax+b],直线[B1F]的方程为[y=bcx+b.]
  联立[y=bax+b,y=bcx+b]解得,[T]的坐标为[(2aca-c,b(a+c)a-c)].
  则[M]的坐标为[(aca-c,b(a+c)2(a-c))].
  则[(aca-c)2a2+[b(a+c)2(a-c)]2b2=1].
  化简得,[c2+10ac-3a2=0],即[e2+10e-3=0],
  解得,[e=-5+27].
  点拨 此类求离心率问题中,若不能从几何角度转化和运用条件,则适合从坐标的角度直接转化为参数[a,b,c]的关系求解.
  例3 已知椭圆[x2a2+y2b2=1(a>b>0)],若椭圆上存在点[P]使得[asin∠PF1F2=csin∠PF2F1],则离心率的范围为 .
  解析 由条件有,[sin∠PF2F1sin∠PF1F2=ca].
  又由正弦定理有,[sin∠PF2F1sin∠PF1F2=PF1PF2],
  则[PF1PF2=ca].
  由椭圆定义有,[PF1+PF2=2a].
  联立得,[PF1=2aca+c].
  由椭圆的性质得,[a-c  即[a-c<2aca+c  变形得,[e>2-1.]
  又[e<1],故[2-1  点拨 此类题所给条件与所求联系不明显,要善于挖掘隐含条件,学会整合转化条件,逐渐将条件和所研究的问题联系起来. 如本题中,先用正弦定理将角化为边,得到焦半径与[a,c]的关系;再利用椭圆的定义及性质将条件转化为只含[a,c]的关系式,从而得到离心率的范围.
  轨迹问题
  例4 已知圆的方程[x2+y2=4],若抛物线过点[A(0,-1),B(0,1)],且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点[F]的轨迹方程是( )
  A. [x23+y24=1(y≠0)] B. [x24+y23=1(y≠0)]
  C. [x23+y24=1(x≠0)] D. [x24+y23=1(x≠0)]
  解析 由抛物线的定义有,[AF=d1,BF=d2(d1,d2]分别为[A,B]到准线的距离).
  由图形及性质可得, [d1+d2=2r=4].
  则[AF+BF=4>AB=2],
  则[F]的轨迹是以[A(0,-1),B(0,1)]为焦点的椭圆.
  答案 C
  点拨 遇到条件不够直观的题目,应冷静分析条件如何用. 如本题中的抛物线顶点、焦点、位置都不明确,故与其图形、标准方程、几何性质关系不大;而条件中透露了焦点、准线、抛物线上的点,显然可以从定义入手.
  例5 已知圆[M:(x+5)2+y2=36],定点[N(5,0)],点[P]为圆[M]上的动点,点[Q]在[NP]上,点[G]在线段[MP=,上,且满足[NP=2NQ,GQ?NP=0],则点[G]的轨迹方程是 .
  解析 [∵NP=2NQ],[∴Q]为线段[NP]的中点.
  又[∵GQ?NP=0],[∴GQ]垂直平分线段[PN].
  则[GP=GN].
  又[GM+GP=r=6],
  则[GM+GN=6>MN=25].
  故点[G]的轨迹是以[M,N]为焦点的椭圆.
  故点[G]的轨迹方程是[x29+y24=1].
  点拨 此类题的条件很多,且都可以直观表达,故一定要数形结合,尽量从几何角度分析整合条件,将条件向主动点及定点、定值转化. 如本题中,将条件整合转化为主动点[G]和定点[M,N],定值半径6之间的关系.
  例6 [P]是椭圆[x2a2+y2b2=1]上的任意一点,[F1,F2]是它的两个焦点,[O]为坐标原点,[OQ=PF1+PF2],则动点[Q]的轨迹方程是 .
  解析 设点[Q]的坐标为[(x,y)],点[P]的坐标为[(x0,y0)].
  由[OQ=PF1+PF2,F1(-c,0),F2(c,0)]得,
  [x=-c-x0+c-x0,y=-y0-y0,]
  则[x0=-x2,y0=-y2.]

作者:不详 来源:网友发布
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