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利用锐角三角函数的定义简化解题

时间:2016-7-16 14:54:34

锐角三角函数的定义是在直角三角形中给出的,它反映的是直角三角形相应两边的比值的特性.可能同学们会认为,只有在解直角三角形的问题时才会用到,可事实上,在求一些线段的比值或线段成比例即三角形相似中,是有更广泛应用的.我们在解题的过程中,如果能有选择的利用这一点,将会对我们的解题起到简化过程的作用.
  例1 (2014·上海)如图1,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,过点A作AE⊥CD,AE分别与CD、CB相交于点H、E,AH=2CH.
  (1) 求sinB的值;
  (2) 如果CD=,求BE的值.
  【思路突破】由已知AH=2CH,在Rt△ACH中,可求∠2的正弦,要求∠B的正弦,只需要证∠B=∠2.再由中线CD=,可求AB=2,由sinB可求AC的长,由勾股定理可求【解后反思】在不同的直角三角形中,找出相等的角,然后再利用三角函数的定义找出等量关系是解决此类问题的关键.
  例2 如图2,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6 cm,BC=8 cm,动点P从点B出发,在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动,运动时间为t秒(0  (1) 若△BPQ与△ABC相似,求t的值;
  (2) 连接AQ,CP,若AQ⊥CP,求t的值.
  【思路突破】(1) △BPQ与△ABC相似,分=或=两种情况;
  (2) 抓住∠BCP=∠QAC,利用三角函数的定义寻找等量关系.
  (2) 过P作PM⊥BC于点M,AQ、CP交于点N,则有PB=5t,AB=10,AC=6,sinB=,得PM=3t,BM=4t,MC=8-4t,

作者:不详 来源:网友发布
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