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向量在解析几何中的应用

时间:2016-7-14 9:37:32

平行问题
  例1 过抛物线[y2=2px]焦点[F]的一条直线与抛物线交于两点[P(x1,y1)],[Q(x2,y2)],经过点[Q]作抛物线准线的垂线,垂足为点[M],设抛物线的顶点为[O],求证: [M],[O],[P]三点共线.
  解析 由题意得,[Fp2 ,0].
  [∴FP=x1-p2, y1 , FQ=x2-p2 ,y2].
  [∵ FP]与[FQ]共线,
  [∴x1-p2 y2-x2-p2 y1=0].
  而[x1=y122p],[x2=y222p],代入上式得,[y1y2=-p2].
  又[M-p2 ,y2],[∴OP=x1, y1 , OM=-p2 ,y2].
  [∵x1y2-(-p2)y1=y122py2+p2y1=y1y22py1+p2y1]
  [=-p2y1+p2y1=0],
  [∴OP]与[OM]是共线向量,即[M],[O],[P]三点共线.
  点拨 两直线平行或三点共线是解析几何中常见问题之一. 根据向量共线的充要条件解决共线(平行)问题比“斜率法”“距离法”更简单明了.
  垂直问题
  例2 已知椭圆[C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)]经过点[M(1,22)],其离心率为[22]. 直线[l:y=kx+m]与椭圆[C]相交于[A],[B]两点.
  (1)求椭圆[C]的方程;
  (2)已知直线[l]与圆[x2+y2=23]相切,求证:[OA⊥OB]([O]为坐标原点).
  解析 (1)由题意易知,椭圆[C]的方程为[x22][+y2][=1].
  (2)因为直线[l]与圆[x2+y2=23]相切,
  所以[m1+k2=63],即[m2=23(1+k2).]
  由[y=kx+m,x2+2y2=2]得,[(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0].
  设点[A],[B]的坐标分别为[A(x1,y1)],[B(x2,y2)],
  则[x1+x2=-4km1+2k2],[x1x2=2m2-21+2k2].
  所以[y1y2=(kx1+m)(kx2+m)]
  =[k2x1x2+km(x1+x2)+m2]=[m2-2k21+2k2].
  所以[OA·OB=x1x2+y1y2]=[2m2-21+2k2+][m2-2k21+2k2]
  =[3m2-2k2-21+2k2]=[0].
  故[OA⊥OB].
  点拨 垂直关系[OA⊥OB][?OA?OB=0]是“形”化“数”、“垂直”化“数量积为零”的基本途径.
  范围问题
  例3 点[P]为平面直角坐标系[xOy]中一定点,过[P(1,2)]作直线[l]分别与[x]轴、[y]轴正半轴交于点[A],[B],求[PA?PB]的最小值.
  解析 依题意可设直线[l]的方程为
  [xa+yb=1(a>0,b>0)],
  则[1a+2b=1],且[A(a,0)],[B(0,b)].
  则[PA=(a-1,-2)],[PB=(-1,b-2)].
  又[PA?PB=-PA?PB=(a+2b)-5]
  [=(a+2b)(1a+2b)-5=(1+4+2ba+2ab)-5=2ba+2ab≥4,]
  当且仅当[a=b]时,等号成立.
  所以[PA?PB]的最小值为[4].
  点拨 [PA,PB]反向时,[PA?PB=-PA?PB],这是将[PA?PB]坐标化的基础. 同理,[PA,PB]同向时,有[PA?PB=PA?PB].
  夹角问题
  例4 已知抛物线[C1:x2=4y]的焦点[F]也是椭圆[C2:y2a2+x2b2=1(a>b>0)]的一个焦点,[C1]与[C2]的公共弦的长为[26].
  (1)求[C2]的方程;
  (2)过点[F]的直线[l]与[C1]相交于[A],[B]两点,与[C2]相交于[C],[D]两点,且[AC]与[BD]同向.
  (i)若[AC=BD],求直线[l]的斜率;
  (ii)设[C1]在点[A]处的切线与[x]轴的交点为[M],证明:直线[l]绕点[F]旋转时,[△MFD]总是钝角三角形.
  解析 (1)[y29+x28=1].
  (2)设[A(x1,y1)],[B(x2,y2)],[C(x3,y3)],[D(x4,y4)].
  (i)因为[AC]与[BD]同向,且[AC=BD],
  所以[AC]=[BD].
  从而[x3-x1=x4-x2],即[x1-x2=x3-x4].
  于是[(x1+x2)2-4x1x2=(x3+x4)2-4x3x4]. ①
  设直线[l]的斜率为[k],则[l]的方程为[y=kx+1].
  由[y=kx+1,x2=4y]得,[x2-4kx-4=0].
  而[x1,x2]是这个方程的两根,
  所以[x1+x2=4k,x1x2=-4]. ②
  由[y=kx+1,x28+y29=1]得,[(9+8k2)x2+16kx-64=0].
  而[x3,x4]是这个方程的两根,
  所以[x3+x4=-16k9+8k2,x3x4=-649+8k2]. ③
  将②③代入①得,[16(k2+1)=162k2(9+8k2)2+4×649+8k2],
  即[16(k2+1)=162×9(k2+1)(9+8k2)2].
  所以[(9+8k2)2=16×9],解得[k=±64].
  即直线[l]的斜率为[±64].
  (ii)证明:由[x2=4y]得,[y=x2],所以[C1]在点[A]处的切线方程为[y-y1=x12(x-x1)],即[y=x1x2-x214].
  令[y=0]得,[x=x12],即[M(x12,0)].
  所以[FM=(x12,-1)],[FA=(x1,y1-1)],
  于是[FA?FM=x122-y1+1=x124+1>0],
  因此[∠AFM]是锐角,从而[∠MFD=180°-∠AFM]是钝角.
  故直线[l]绕点[F]旋转时,[△MFD]总是钝角三角形.
  点拨 对于不共线的向量[a,b],[a?b>0?]为锐角;[a?b<0?]为钝角.

作者:不详 来源:网友发布
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