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为什么”要学习因式分解

时间:2016-7-2 13:06:17

在学习“因式分解”时,不少同学总是不明白“为什么”要学习因式分解;学会了的同学大多只是记住了分解的步骤,“知其然而不知其所以然”,甚至过一段时间就会忘记.种种困惑,其实是对这一部分内容没有透彻的理解.本文采用“自问自答”的形式,对因式分解的相关内容作一点剖析,希望对初学者有所帮助.
  1. 如何区别因式分解和整式乘法?
  一般地,多项式有两种表示形式:和的形式、积的形式.如果用“项链”比作和的形式,那么不妨也用“磁铁”来表示积的形式.借助于以上比喻,整式乘法是把多项式算成“项链”,而因式分解需要算成“磁铁”的形式.
  因式分解是整式的一种恒等变形,其涉及的运算有:加减法和乘法,其基本原理是基于分配律的逆用.因此,因式分解是整式乘法的逆过程.它们有如下的区别:
  (1) 运算的结果形式不同.因式分解要求多项式化成整式之积的形式;而整式的乘法要求结果是单项式的和的形式.
  (2) 所用方法不同.整式乘法是基于分配律的乘法运算,由此可以得出一系列重要的公式,比如平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2,完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2,等等.这些公式可以极大地简化运算步骤,提高效率.因式分解是基于分配律的逆用,采用的方法较多,最基本的有提取公因式法、公式法(公式又有很多)等等.这些方法,都是后人为了使得分解进行下去而总结提炼的结果,如果多掌握一点,可以提高运算的效率,领略代数计算的魅力.
  (3) 适用范围不同.理论上讲,不管多复杂的整式的乘法运算,都可以得到最后的“和的形式”.但对于因式分解,不是任何多项式都可以因式分解的.不能分解的多项式,叫作“不可约多项式”,一次多项式就不能再分解了,因此所有的一次多项式都是不可约多项式,比如x+y,a-b+1等.初中阶段更多地关注含有一个字母的二次多项式可不可以分解,其一般形式为ax2+bx+c,一般地,我们可以用根的判别式Δ=b2-4ac的符号进行判定:如果Δ≥0,则ax2+bx+c可以在实数范围内分解;如果Δ<0,则不可以在实数范围内分解.这里,“在实数范围内分解”,或“在有理数范围内分解”的意思是:分解后的因式的系数是实数或有理数.在不同的学习阶段,因式分解的要求有所不同,比如初一刚学习因式分解,我们还不认识有理数之外的无理数,因此可以分解x2-4,x2-x-2这样的多项式,诸如x2-3,x2-x-1这样的式子则不能分解.但是到了初二,认识了无理数之后,x2-3,x2-x-1又可以分解了.到了初三,我们就能很明白,为何x2-x+2不能因式分解.我们看一个例子.

作者:不详 来源:网友发布
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